Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

$\cosh x+\sinh x=e^{x}.$
$\cosh x-\sinh x=e^{-x}.$
$(\cosh x)^{2}-(\sinh x)^{2}=1.$

Aufgabe *

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf ${}\mathbb {R}$ streng wachsend ist.

Aufgabe *

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten

{}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,

gelten, wobei ${}a,b,c$ die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ sind.

Aufgabe

Bestimme die Determinanten von ebenen und von räumlichen Drehungen.

Aufgabe *

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.

Aufgabe *

Zeige, dass die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n}{n^{2}}}

konvergiert.

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu ${}z^{6}$ in der Produktreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.

Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer periodischen Funktion.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt periodisch mit Periode ${}L>0$ , wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

{}f(x)=f(x+L)\,

gilt.

Aufgabe

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine periodische Funktion und

g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}f\circ g$ nicht periodisch sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass ${}f$ beschränkt ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in der Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ des Kosinus hyperbolicus die Koeffizienten ${}c_{n}$ für ungerades ${}n$ gleich ${}0$ sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf ${}\mathbb {R} _{\leq 0}$ streng fallend und auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ streng wachsend ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}

die Drehung des Raumes um die ${}z$ -Achse um ${}45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die beschreibende Matrix bezüglich der Basis

{\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}}

aus?

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Additionstheorem

{}\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,

für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ . Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}n$ komplexe Zahlen ${}z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$ in der Kreisscheibe ${}B$ mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$ , also in ${}B={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \leq 1\right\}}$ , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt ${}w\in B$ mit der Eigenschaft

{}\sum _{i=1}^{n}\vert {z_{i}-w}\vert \geq n\,

gibt.

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