Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 18

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus


Aufgabe

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf streng wachsend ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Tangens hyperbolicus die Abschätzungen

erfüllt.


Aufgabe *

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem Dreieck die Gleichheiten

gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.


Aufgabe

Bestimme die Determinanten von ebenen und von räumlichen Drehungen.


Aufgabe *

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.


Aufgabe *

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu in der Produktreihe aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.


Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer periodischen Funktion.


Eine Funktion heißt periodisch mit Periode , wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei

eine periodische Funktion und

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.


Aufgabe

Es sei eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass beschränkt ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in der Potenzreihe des Kosinus hyperbolicus die Koeffizienten für ungerades gleich sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf streng fallend und auf streng wachsend ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

die Drehung des Raumes um die -Achse um Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die beschreibende Matrix bezüglich der Basis

aus?


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das Additionstheorem

für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien komplexe Zahlen in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft

gibt.




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