Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Eigenschaften von
\definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{}
und
\definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{}
\aufzaehlungdrei{
\mathdisp {\cosh x + \sinh x = e^x} { . }
}{
\mathdisp {\cosh x - \sinh x = e^{-x }} { . }
}{
\mathdisp {( \cosh x )^2 - ( \sinh x )^2 = 1} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} auf $\R$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Tangens hyperbolicus}{}{} die Abschätzungen
\mathdisp {-1 \leq \tanh x \leq 1 \text{ für alle } x \in \R} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise elementargeometrisch den \stichwort {Sinussatz} {,} also die Aussage, dass in einem
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{}
die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ \sin \alpha } }
}
{ =} { { \frac{ b }{ \sin \beta } }
}
{ =} { { \frac{ c }{ \sin \gamma } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, wobei
\mathl{a,b,c}{} die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} von \definitionsverweis {ebenen}{}{} und von \definitionsverweis {räumlichen Drehungen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Additionstheoreme für den \definitionsverweis {Sinus}{}{} und den \definitionsverweis {Kosinus}{}{} unter Verwendung von \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers \zusatzklammer {jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen} {} {} berechnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ \sin n }{ n^2 } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^6$ in der \definitionsverweis {Produktreihe}{}{} $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ aus der \definitionsverweis {Sinusreihe}{}{} und der \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{.}
}
{} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer \stichwort {periodischen Funktion} {.}
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {} heißt \definitionswort {periodisch}{} mit \definitionswort {Periode}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(x+L)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} und \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} eine beliebige Funktion.
a) Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} wieder periodisch ist.
b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
\mathl{f \circ g}{} nicht periodisch sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige}{}{} \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ beschränkt ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass in der
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n= 0}^\infty c_nx^n}{} des
\definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{}
die Koeffizienten $c_n$ für ungerades $n$ gleich $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} auf $\R_{\leq 0}$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{} und auf $\R_{\geq 0}$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
die
\definitionsverweis {Drehung}{}{} des Raumes um die $z$-Achse um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn. Wie sieht die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\3\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 7 \end{pmatrix}} { }
aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Beweise das Additionstheorem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (x+y)
}
{ =} { \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\maabbdisp {f_1,f_2} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {periodische Funktionen}{}{}
mit den Periodenlängen
\mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {.}
Der Quotient
\mathl{L_1/L_2}{} sei eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{f_1+f_2}{} eine periodische Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien $n$ komplexe Zahlen
\mathl{z_1,z_2 , \ldots , z_n}{} in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gegeben. Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \betrag { z_i-w }
}
{ \geq} { n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
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