Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 19

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Aufwärmaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


für jedes .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Aufgabe

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.


Aufgabe

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.


Aufgabe *

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil .


Bei der „linearen Approximation“ von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.


Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung

wobei eine lineare Abbildung und ein Vektor ist, heißt affin-linear.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass es zu zwei Vektoren genau eine affin-lineare Abbildung

gibt mit und .


Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung

mit und .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion , die parallel zu sind.


Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei und und es sei die Hintereinanderschaltung.

  1. Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
  2. Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
  3. Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die affin-lineare Abbildung

deren Graph durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Teilmenge und seien

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel




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