Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 19

Aufwärmaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=x^n,$

für jedes $n\in \mathbb{N}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:ℝ\setminus \{0\}⟶ℝ,x⟼f(x)=x^n$

für jedes  $n\in \mathbb{Z}$. 

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=x^{\frac{1}{n}},$

 für jedes  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=x^3+2x^2-5x+3,$

in einem beliebigen Punkt  $a\in ℝ$. 

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼|x|,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:ℝ\setminus \{0\}⟶ℝ,x⟼f(x)=\frac{x^2+1}{x^3}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei  $f(x)=x^3+4x^2-1$  und  $g(y)=y^2-y+2$.  Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung  $h(x)=g(f(x))$  direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom  $P\in ℝ[X]$  genau dann einen Grad $\le d$ besitzt (oder $P=0$ ist), wenn die $(d+1)$-te Ableitung von $P$ das Nullpolynom ist.

Aufgabe *

Es seien

$f,g:ℝ⟶ℝ$

zwei differenzierbare Funktionen und sei

$h(x)=(g(f(x)){)}^{2}f(g(x)).$

a) Drücke die Ableitung $h^{\prime }$ mit den Ableitungen von $f$ und $g$ aus.

b) Es sei nun

$f(x)=x^2-1\text{ und }g(x)=x+2.$

Berechne $h^{\prime }(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Bei der „linearen Approximation“ von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung

$\alpha :V⟶W,v⟼\alpha (v)=\phi (v)+w,$

wobei $\phi$ eine lineare Abbildung und $w\in W$ ein Vektor ist, heißt affin-linear.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und $W$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass es zu zwei Vektoren  $u,v\in W$  genau eine affin-lineare Abbildung

$\alpha :K⟶W$

mit $\alpha (0)=u$ und $\alpha (1)=v$ gibt.

Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung

$\alpha :ℝ⟶{ℝ}^3$

mit $\alpha (0)=(2,3,4)$ und $\alpha (1)=(5,-2,-1)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:D⟶ℝ,x⟼f(x)=\frac{x^2+x-1}{x^3-x+2},$

wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion  $f(x)=x^3-x^2-x+1$,  die parallel zu  $y=x$  sind.

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei  $f(x)=\frac{x^2+5x-2}{x+1}$  und  $g(y)=\frac{y-2}{y^2+3}$  und es sei  $h(x):=g(f(x))$  die Hintereinanderschaltung.

1. Berechne $h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
2. Berechne die Ableitung von $h$ mithilfe von Teil 1.
3. Berechne die Ableitung von $h$ mithilfe der Kettenregel.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die affin-lineare Abbildung

$\alpha :ℝ⟶ℝ,$

deren Graph durch die beiden Punkte $(-2,3)$ und $(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $D\subseteq ℝ$  eine Teilmenge und seien

$f_i:D⟶ℝ,i=1,\dots ,n,$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

$\left(\prod _{i=1}^n{f}_i\right)=\sum _{i=1}^n{f_i}^{\prime }\cdot \prod _{j=1,j\ne i}^n{f}_j.$

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