Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 19

Aufwärmaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$

für jedes ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n}$

für jedes  ${}n\in \mathbb {Z}$. 

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{\frac {1}{n}},$

 für jedes  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. 

Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+3,$

in einem beliebigen Punkt  ${}a\in \mathbb {R}$. 

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{3}}}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei  ${}f(x)=x^{3}+4x^{2}-1$  und  ${}g(y)=y^{2}-y+2$.  Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung  ${}h(x)=g(f(x))$  direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom  ${}P\in \mathbb {R} [X]$  genau dann einen Grad ${}\leq d$ besitzt (oder ${}P=0$ ist), wenn die ${}(d+1)$-te Ableitung von ${}P$ das Nullpolynom ist.

Aufgabe *

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen und sei

${}h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x))\,.$

a) Drücke die Ableitung ${}h'$ mit den Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ aus.

b) Es sei nun

$f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.$

Berechne ${}h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über ${}h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Bei der „linearen Approximation“ von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine Abbildung

$\alpha \colon V\longrightarrow W,\,v\longmapsto \alpha (v)=\varphi (v)+w,$

wobei ${}\varphi$ eine lineare Abbildung und ${}w\in W$ ein Vektor ist, heißt affin-linear.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}W$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass es zu zwei Vektoren  ${}u,v\in W$  genau eine affin-lineare Abbildung

$\alpha \colon K\longrightarrow W$

mit ${}\alpha (0)=u$ und ${}\alpha (1)=v$ gibt.

Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Abbildung

$\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

mit ${}\alpha (0)=(2,3,4)$ und ${}\alpha (1)=(5,-2,-1)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{x^{3}-x+2}},$

wobei ${}D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion  ${}f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1$,  die parallel zu  ${}y=x$  sind.

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei  ${}f(x)={\frac {x^{2}+5x-2}{x+1}}$  und  ${}g(y)={\frac {y-2}{y^{2}+3}}$  und es sei  ${}h(x):=g(f(x))$  die Hintereinanderschaltung.

1. Berechne ${}h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
2. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil 1.
3. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die affin-lineare Abbildung

$\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

deren Graph durch die beiden Punkte ${}(-2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  ${}D\subseteq \mathbb {R}$  eine Teilmenge und seien

$f_{i}\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,i=1,\ldots ,n,$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

${}{\left(\prod _{i=1}^{n}f_{i}\right)}'=\sum _{i=1}^{n}f_{i}'\cdot \prod _{j=1,j\neq i}^{n}f_{j}\,.$

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