Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} { \R } {x} {f(x)=x^n } {,}
für jedes $n \in \N$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} { \R } {x} {f(x)=x^n } {}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x)=x^{\frac{1}{n} }
} {,}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme direkt
\zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {}
die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} { \R } {x} {f(x)= \frac{x^2+ 1 }{ x^3} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} einer \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} wieder eine rationale Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x^3+4x^2-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ y^2-y+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ = }{ g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt und mittels der
Kettenregel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann einen
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$\leq d$ besitzt
\zusatzklammer {oder
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {,}
wenn die $(d+1)$-te
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $P$ das Nullpolynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {}
zwei
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
Funktionen und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ =} { (g(f(x)))^2 f(g(x))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Drücke die Ableitung $h'$ mit den Ableitungen von \mathkor {} {f} {und} {g} {} aus.
b) Es sei nun
\mathdisp {f(x)=x^2-1 \text{ und } g(x) =x+2} { . }
Berechne $h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).
}
{} {}
Bei der \anfuehrung{linearen Approximation}{} von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha} {V} {W
} {v} {\alpha(v) = \varphi(v) +w
} {,}
wobei $\varphi$ eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\mathl{w \in W}{} ein
\definitionsverweis {Vektor}{}{} ist, heißt \definitionswort {affin-linear}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $W$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es zu zwei Vektoren $u,v \in W$ genau eine \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\alpha} {K} {W } {} gibt mit \mathkor {} {\alpha(0) = u} {und} {\alpha(1) = v} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\alpha} {\R} {\R^3 } {} mit \mathkor {} {\alpha(0) = (2,3,4)} {und} {\alpha(1)=(5,-2,-1)} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} { \R } {x} {f(x)= \frac{x^2+x-1 }{ x^3-x+2} } {,}
wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
an den Graphen zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x^3-x^2-x+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die parallel zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (2+2+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ x^2+5x-2 }{ x+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ { \frac{ y-2 }{ y^2+3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ \defeq }{ g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne $h$
\zusatzklammer {das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen} {} {.}
}{Berechne die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $h$ mit Hilfe von Teil 1.
}{Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der
Kettenregel.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\alpha} {\R} {\R } {,} deren \definitionsverweis {Graph}{}{} durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und seien
\maabbdisp {f_i} {D} { \R , \, i = 1 , \ldots , n
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \prod_{i = 1}^nf_i \right) }'
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n f_i' \cdot \prod_{j = 1,j\neq i}^nf_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
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