Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 19/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

\setcounter{section}{19}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.


\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} { \R } {x} {f(x)=x^n } {,}


für jedes $n \in \N$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} { \R } {x} {f(x)=x^n } {}


für jedes $n \in \Z$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x)=x^{\frac{1}{n} } } {,}

 für jedes $n \in \N_+$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme direkt \zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {} die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,} in einem beliebigen Punkt $a \in \R$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} { \R } {x} {f(x)= \frac{x^2+ 1 }{ x^3} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} einer \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} wieder eine rationale Funktion ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f(x)=x^3+4x^2-1$ und $g(y) =y^2-y+2$. Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} $h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} $P \in \R[X]$ genau dann einen \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq d$ besitzt \zusatzklammer {oder $P=0$ ist} {} {,} wenn die $(d+1)$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $P$ das Nullpolynom ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktionen und sei
\mathdisp {h(x)=(g(f(x)))^2 f(g(x))} { . }

a) Drücke die Ableitung $h'$ mit den Ableitungen von \mathkor {} {f} {und} {g} {} aus.

b) Sei nun
\mathdisp {f(x)=x^2-1 \text{ und } g(x) =x+2} { . }
Berechne $h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil $a)$.

}
{} {}

Bei der \anfuehrung{linearen Approximation}{} von differenzierbaren Abbildungen kommen sogenannte affin-lineare Abbildungen vor.


Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\alpha} {V} {W } {v} {\alpha(v) = \varphi(v) +w } {,} wobei $\varphi$ eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mathl{w \in W}{} ein \definitionsverweis {Vektor}{}{} ist, heißt \definitionswort {affin-linear}{.}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $W$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es zu zwei Vektoren $u,v \in W$ genau eine \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\alpha} {K} {W } {} gibt mit \mathkor {} {\alpha(0) = u} {und} {\alpha(1) = v} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\alpha} {\R} {\R^3 } {} mit \mathkor {} {\alpha(0) = (2,3,4)} {und} {\alpha(1)=(5,-2,-1)} {.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} { \R } {x} {f(x)= \frac{x^2+x-1 }{ x^3-x+2} } {,}


wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Tangenten}{}{} an den Graphen zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x^3-x^2-x+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die parallel zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{7 (2+2+3)}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{ { \frac{ x^2+5x-2 }{ x+1 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y) }
{ = }{ { \frac{ y-2 }{ y^2+3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x) }
{ \defeq }{ g(f(x)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.} \aufzaehlungdrei{Berechne $h$ \zusatzklammer {das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen} {} {.} }{Berechne die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $h$ mit Hilfe von Teil 1. }{Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der Kettenregel. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\alpha} {\R} {\R } {,} deren \definitionsverweis {Graph}{}{} durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und seien \maabbdisp {f_i} {D} { \R , \, i = 1 , \ldots , n } {,} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \prod_{i = 1}^nf_i \right) }' }
{ =} { \sum_{i = 1}^n f_i' \cdot \prod_{j = 1,j\neq i}^nf_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}



<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes (PDF englisch)

Zur Vorlesung (PDF)