Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 20

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.


Aufgabe

Betrachte die Funktion

die durch

definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.


Aufgabe *

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe

Betrachte die Funktion

Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.


Aufgabe *

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 20.11).


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?


Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe *

Es sei

a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Aufgabe

Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen cm und cm soll eine Schachtel (ohne Deckel) mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird (die überlappenden Eckränder werden verklebt). Mit welcher Randbreite (=Schachtelhöhe) erreicht man das maximale Volumen?


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

(mit ), keine lokalen Extrema besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei und

eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine höhere Ableitung mit gibt.



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