Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼x|x|,$

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,$

die durch

$f(x)=\{\begin{array}{c}x-\lfloor x\rfloor ,\text{ falls }\lfloor x\rfloor \text{ gerade},\\ \lfloor x\rfloor -x+1,\text{ falls }\lfloor x\rfloor \text{ ungerade},\end{array}$

definiert ist. Untersuche $f$ in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f:[-2,5]⟶ℝ,x⟼f(x)=2x^3-5x^2+4x-1.$

Aufgabe

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f:[-4,4]⟶ℝ,x⟼f(x)=3x^3-7x^2+6x-3.$

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=4x^3+3x^2-x+2.$

Finde die Punkte  $a\in [-3,3]$  derart, dass die Steigung der Funktion in $a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen $-3$ und $3$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

$f:ℝ⟶ℝ$

vom Grad $d\ge 1$ maximal $d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

${\lim }_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6}$

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 20.11).

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

$\frac{x^3-2x^2+x+4}{x^2+x}$

im Punkt $-1$.

Aufgabe

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche $1000m^2$ angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?

Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f:D⟶ℝ,x⟼f(x)=\frac{2x-3}{5x^2-3x+4},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe *

Es sei

$f(x)=x^3+x-1.$

a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl  $q\in [0,1]$  derart an, dass  $|f(q)|\le \frac{1}{10}$  ist.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert von

$\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}$

im Punkt $1$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

Aufgabe

Es sei  $P\in ℝ[X]$  ein Polynom,  $a\in ℝ$  und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a{)}^n$ ist, wenn $a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen $P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\dots ,P^{(n-1)}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen $20$ cm und $30$ cm soll eine Schachtel (ohne Deckel) mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird (die überlappenden Eckränder werden verklebt). Mit welcher Randbreite (=Schachtelhöhe) erreicht man das maximale Volumen?

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f:D⟶ℝ,x⟼f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{x-4},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

(mit $a,b,c,d\in ℝ$, $c\ne 0$), keine lokalen Extrema besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

$\frac{x^4+2x^3-3x^2-4x+4}{2x^3-x^2-4x+3}$

im Punkt $1$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $D\subseteq ℝ$  und

$F:D⟶ℝ$

eine rationale Funktion. Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine höhere Ableitung mit  $F^{(n)}=0$  gibt.

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