Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 2/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $x,y,z,w$ Elemente in einem Körper, wobei $z$ und $w$ nicht null seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

\aufzaehlungacht{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ 1 } } }
{ =} { x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ \frac{ 1 }{ z } } }
{ =} { z^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ -1 } } }
{ =} { -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 0 }{ z } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ z }{ z } } }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } }
{ =} { { \frac{ xw }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } \cdot { \frac{ y }{ w } } }
{ =} { { \frac{ xy }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } } }
{ =} { { \frac{ xw+yz }{ zw } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-z) \cdot (y-w) }
{ =} { (x+w)(y+z)-(z+w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?} Zeige, dass die \anfuehrung{beliebte Formel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } } }
{ =} {{ \frac{ x+y }{ z+w } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen \mathkor {} {p} {und} {q} {} größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mathl{a,b,c \in {]0,1[}}{} mit
\mathdisp {a^2+b^2=c^2} { . }

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mathl{a,b,c \in {]0,1[}}{} mit
\mathdisp {a^2+b^2 \neq c^2} { . }

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mathl{a,b \in {]0,1[}}{} und eine rationale Zahl
\mathl{c \in {]0,1[}}{} mit
\mathdisp {a^2+b^2=c^2} { . }

}
{} {}

Die folgende Aufgabe soll allein unter Bezug auf die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen gezeigt werden.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für reelle Zahlen die folgenden Eigenschaften gelten. \aufzaehlungacht{$1 > 0$. }{Aus
\mathl{a \geq b}{} und
\mathl{c \geq 0}{} folgt
\mathl{ac \geq bc}{.} }{Aus $a \geq b$ und $c \leq 0$ folgt
\mathl{ac \leq bc}{.} }{Es ist
\mathl{a^2 \geq 0}{.} }{Aus
\mathl{a \geq b \geq 0}{} folgt
\mathl{a^n \geq b^n}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} }{Aus
\mathl{a \geq 1}{} folgt
\mathl{a^n \geq a^m}{} für ganze Zahlen
\mathl{n \geq m}{.} }{Aus
\mathl{a > 0}{} folgt
\mathl{{ \frac{ 1 }{ a } } > 0}{.} }{Aus
\mathl{a > b >0}{} folgt
\mathl{{ \frac{ 1 }{ a } } < { \frac{ 1 }{ b } }}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} $x \geq 3$ die Beziehung
\mathdisp {x^2 +(x+1)^2 \geq (x+2)^2} { }
gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $x<y$ reelle Zahlen. Zeige, dass für das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} ${ \frac{ x+y }{ 2 } }$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ <} { { \frac{ x+y }{ 2 } } }
{ <} {y }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die folgenden Eigenschaften für die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {\betrag { x } } {,}\zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige reelle Zahlen} {} {.} \aufzaehlungacht{ $\betrag { x } \geq 0$. }{ $\betrag { x } = 0$ genau dann, wenn $x=0$ ist. }{ $\betrag { x } =\betrag { y }$ genau dann, wenn $x= y$ oder $x=-y$ ist. }{ $\betrag { y-x } =\betrag { x-y }$. }{ $\betrag { xy } = \betrag { x } \betrag { y }$. }{Für $x \neq 0$ ist $\betrag { x^{-1} } = \betrag { x }^{-1}$. }{Es ist $\betrag { x+y } \leq \betrag { x } + \betrag { y }$ \zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y } }
{ \geq }{ \betrag { x } - \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die folgenden Teilmengen im $\R^2$. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {${ \left\{ (x,y) \mid x=5 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid x \geq 4 \text{ und } y =3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid y^2 \geq 2 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { x } = 3 \text{ und } \betrag { y } \leq 2 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid 3x \geq y \text{ und } 5x \leq 2y \right\} }$, } } {\itemfuenf {${ \left\{ (x,y) \mid xy = 0 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid xy = 1 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid xy \geq 1 \text{ und } y \geq x^3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid 0 = 0 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid 0 = 1 \right\} }$. } }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Es seien $x_1 , \ldots , x_n$ reelle Zahlen. Zeige durch \definitionsverweis {Induktion}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n x_i } }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { x_i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen \definitionsverweis {Körper}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Skizziere die folgenden Teilmengen im $\R^2$. \aufzaehlungsechs{${ \left\{ (x,y) \mid x+y = 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid x+y \leq 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid (x+y)^2 \geq 4 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { x+2 } \geq 5 \text{ und } \betrag { y-2 } \leq 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { x } = 0 \text{ und } \betrag { y^4-2y^3+7y-5 } \geq -1 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid -1 \leq x \leq 3 \text{ und } 0 \leq y \leq x^3 \right\} }$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Aus einem Taschenbuch wurde ein Blatt herausgerissen. Die verbliebenen Seitenzahlen addieren sich zu
\mathl{65000}{.} Wie viele Seiten hatte das Buch?

}
{} {Hinweis: Zeige, dass es nicht das letzte Blatt sein kann. Aus den beiden Aussagen \anfuehrung{Es fehlt ein Blatt}{} und \anfuehrung{Das letzte Blatt fehlt nicht}{} lassen sich zwei Ungleichungen aufstellen, die (sinnvolle) obere und untere Abschätzungen für die Anzahl der Seiten liefern.}



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