Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 2

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht null seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt.


Aufgabe *

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.


Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Die folgende Aufgabe soll allein unter Bezug auf die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen gezeigt werden.

Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. .
  2. Aus und folgt .
  3. Aus und folgt .
  4. Es ist .
  5. Aus folgt für alle .
  6. Aus folgt für ganze Zahlen .
  7. Aus folgt .
  8. Aus folgt .


Aufgabe *

Zeige, dass für reelle Zahlen die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen. Zeige, dass für das arithmetische Mittel die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

(dabei seien beliebige reelle Zahlen).
  1. .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. genau dann, wenn oder ist.
  4. .
  5. .
  6. Für ist .
  7. Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
  8. Es ist .


Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Zeige durch Induktion die Abschätzung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.


Aufgabe (3 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .


Aufgabe (5 Punkte)

Aus einem Taschenbuch wurde ein Blatt herausgerissen. Die verbliebenen Seitenzahlen addieren sich zu . Wie viele Seiten hatte das Buch?

Hinweis: Zeige, dass es nicht das letzte Blatt sein kann. Aus den beiden Aussagen „Es fehlt ein Blatt“ und „Das letzte Blatt fehlt nicht“ lassen sich zwei Ungleichungen aufstellen, die (sinnvolle) obere und untere Abschätzungen für die Anzahl der Seiten liefern.



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