Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 2

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}x,y,z,w$ Elemente in einem Körper, wobei ${}z$ und ${}w$ nicht ${}0$ seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. ${}{\frac {x}{1}}=x\,,$

2. ${}{\frac {1}{z}}=z^{-1}\,,$

3. ${}{\frac {1}{-1}}=-1\,,$

4. ${}{\frac {0}{z}}=0\,,$

5. ${}{\frac {z}{z}}=1\,,$

6. ${}{\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,$

7. ${}{\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,$

8. ${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation (und die Subtraktion mit der Division) vertauscht, also

${}(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,$

nicht gilt.

Aufgabe *

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen ${}p$ und ${}q$ größer ist.

$p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$

Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen  ${}a,b,c\in {]0,1[}$  mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen  ${}a,b,c\in {]0,1[}$  mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen  ${}a,b\in {]0,1[}$  und eine rationale Zahl  ${}c\in {]0,1[}$  mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Die folgende Aufgabe soll allein unter Bezug auf die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen gezeigt werden.

Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist  ${}1\geq 0$. 
2. Aus  ${}a\geq b$  und  ${}c\geq 0$  folgt  ${}ac\geq bc$. 
3. Aus  ${}a\geq b$  und  ${}c\leq 0$  folgt  ${}ac\leq bc$. 
4. Es ist  ${}a^{2}\geq 0$. 
5. Aus  ${}a\geq b\geq 0$  folgt  ${}a^{n}\geq b^{n}$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$. 
6. Aus  ${}a\geq 1$  folgt  ${}a^{n}\geq a^{m}$  für ganze Zahlen  ${}n\geq m$. 
7. Aus  ${}a>0$  folgt  ${}{\frac {1}{a}}>0$. 
8. Aus  ${}a>b>0$  folgt  ${}{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$. 

Aufgabe *

Zeige, dass für reelle Zahlen  ${}x\geq 3$  die Beziehung

${}x^{2}+(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien  ${}x<y$  reelle Zahlen. Zeige, dass für das arithmetische Mittel ${}{\frac {x+y}{2}}$ die Beziehung

${}x<{\frac {x+y}{2}}<y\,$

gilt.

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

(dabei seien ${}x,y$ beliebige reelle Zahlen).

1. Es ist  ${}\vert {x}\vert \geq 0$. 
2. Es ist  ${}\vert {x}\vert =0$  genau dann, wenn  ${}x=0$  ist.
3. Es ist  ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$  genau dann, wenn  ${}x=y$  oder  ${}x=-y$  ist.
4. Es ist  ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$. 
5. Es ist  ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$. 
6. Für  ${}x\neq 0$  ist  ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$. 
7. Es ist  ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$  (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist  ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$. 

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid x=5\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid x\geq 4{\text{ und }}y=3\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}\geq 2\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =3{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq 2\right\}}$,
5. ${}{\left\{(x,y)\mid 3x\geq y{\text{ und }}5x\leq 2y\right\}}$,
6. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}$,
7. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}$,
8. ${}{\left\{(x,y)\mid xy\geq 1{\text{ und }}y\geq x^{3}\right\}}$,
9. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=0\right\}}$,
10. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=1\right\}}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ reelle Zahlen. Zeige durch Induktion die Abschätzung

${}\vert {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\vert \leq \sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.

Aufgabe (3 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid x+y=3\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid x+y\leq 3\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid (x+y)^{2}\geq 4\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {x+2}\vert \geq 5{\text{ und }}\vert {y-2}\vert \leq 3\right\}}$,
5. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =0{\text{ und }}\vert {y^{4}-2y^{3}+7y-5}\vert \geq -1\right\}}$,
6. ${}{\left\{(x,y)\mid -1\leq x\leq 3{\text{ und }}0\leq y\leq x^{3}\right\}}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Aus einem Taschenbuch wurde ein Blatt herausgerissen. Die verbliebenen Seitenzahlen addieren sich zu ${}65000$. Wie viele Seiten hatte das Buch?

Hinweis: Zeige, dass es nicht das letzte Blatt sein kann. Aus den beiden Aussagen „Es fehlt ein Blatt“ und „Das letzte Blatt fehlt nicht“ lassen sich zwei Ungleichungen aufstellen, die (sinnvolle) obere und untere Abschätzungen für die Anzahl der Seiten liefern.

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