Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 20/latex

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\setcounter{section}{20}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, aber nicht zweimal \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x- \lfloor x \rfloor , \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ gerade}, \\ \lfloor x \rfloor -x + 1, \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ ungerade}, \end{cases}} { }
definiert ist. Untersuche $f$ in Hinblick auf \definitionsverweis {Stetigkeit}{}{,} \definitionsverweis {Differenzierbarkeit}{}{} und \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-2,5]} {\R } {x} { f ( x ) = 2x^3-5x^2+4x-1 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-4,4]} {\R } {x} { f ( x ) = 3x^3-7x^2+6x-3 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = 4x^3+3x^2-x+2 } {.} Finde die Punkte $a \in [-3,3]$ derart, dass die Steigung der Funktion in $a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen \mathkor {} {-3} {und} {3} {} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {reelle Polynomfunktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d \geq 1$ maximal
\mathl{d-1}{} \definitionsverweis {lokale Extrema}{}{} besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder \definitionsverweis {streng fallend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 2 } \, \frac{ 3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6}} { }
mittels \definitionsverweis {Polynomdivision}{}{} \zusatzklammer {vergleiche Beispiel 20.11} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^3-2x^2+x+4}{ x^2+x }} { }
im Punkt $-1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche $1000 m^2$ angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 2x-3 }{ 5x^2-3x+4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraph}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^3+x-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(q) } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Grenzwert von
\mathdisp {\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}} { }
im Punkt $1$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $P\in \R[X]$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{,} $a \in \R$ und $n \in \N$. Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a)^n$ ist, wenn $a$ eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} sämtlicher \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $P,P^\prime ,P^{\prime \prime} , \ldots , P^{(n-1)}$ ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{5}
{

Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen $20$ cm und
\mathl{30}{} cm soll eine Schachtel \zusatzklammer {ohne Deckel} {} {} mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird \zusatzklammer {die überlappenden Eckränder werden verklebt} {} {.} Mit welcher Randbreite \zusatzklammer {=Schachtelhöhe} {} {} erreicht man das maximale Volumen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 3x^2-2x+1 }{ x-4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraph}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass eine nichtkonstante \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} der Form
\mathdisp {f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}} { }
\zusatzklammer {mit $a,b,c,d \in \R, a,c \neq 0$} {} {,} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^4+2x^3-3x^2-4x+4}{ 2x^3-x^2-4x+3 }} { }
im Punkt $1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{D \subseteq \R}{} und \maabbdisp {F} {D} {\R } {} eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine \definitionsverweis {höhere Ableitung}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{(n)} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}



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