Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, aber nicht zweimal \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x- \lfloor x \rfloor , \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ gerade}, \\ \lfloor x \rfloor -x + 1, \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ ungerade}, \end{cases}} { }
definiert ist. Untersuche $f$ in Hinblick auf
\definitionsverweis {Stetigkeit}{}{,}
\definitionsverweis {Differenzierbarkeit}{}{}
und
\definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-2,5]} {\R } {x} { f ( x ) = 2x^3-5x^2+4x-1 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-4,4]} {\R } {x} { f ( x ) = 3x^3-7x^2+6x-3 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = 4x^3+3x^2-x+2
} {.}
Finde die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ [-3,3]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Steigung der Funktion in $a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen
\mathkor {} {-3} {und} {3} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {reelle Polynomfunktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d \geq 1$ maximal
\mathl{d-1}{}
\definitionsverweis {lokale Extrema}{}{}
besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd $f$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{}
oder
\definitionsverweis {streng fallend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 2 } \, \frac{ 3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6}} { }
mittels
\definitionsverweis {Polynomdivision}{}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Beispiel 20.11} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^3-2x^2+x+4}{ x^2+x }} { }
im Punkt $-1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche $1000 m^2$ angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 2x-3 }{ 5x^2-3x+4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3+x-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.
b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.
c) Man gebe eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(q) }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grenzwert von
\mathdisp {\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}} { }
im Punkt $1$, und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a)^n$ ist, wenn $a$ eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
sämtlicher
\definitionsverweis {Ableitungen}{}{}
$P,P^\prime ,P^{\prime \prime} , \ldots , P^{(n-1)}$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen $20$ cm und
\mathl{30}{} cm soll eine Schachtel
\zusatzklammer {ohne Deckel} {} {} mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird
\zusatzklammer {die überlappenden Eckränder werden verklebt} {} {.}
Mit welcher Randbreite
\zusatzklammer {=Schachtelhöhe} {} {} erreicht man das maximale Volumen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 3x^2-2x+1 }{ x-4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass eine nichtkonstante
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { { \frac{ ax+b }{ cx+d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
keine
\definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^4+2x^3-3x^2-4x+4}{ 2x^3-x^2-4x+3 }} { }
im Punkt $1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbdisp {F} {D} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.}
Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine
\definitionsverweis {höhere Ableitung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{(n)}
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
| << | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I | >> |
|---|