Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 21

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}\cdot \exp \left(x^{3}-4x\right).$

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 21.1).

Aufgabe

Bestimme die ${}1034871$-te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(\cos x\right).$

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)(\cos x).$

Aufgabe

Bestimme für ${}n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (\sin x)^{n}.$

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}.$

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.$

a) Zeige, dass ${}f$ eine stetige Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${}u$ von ${}0$ unter ${}f$ sowie ${}f'(u)$ und ${}(f^{-1})'(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ an.

Aufgabe *

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Es gelte

$f(a)\geq g(a){\text{ und }}f'(x)\geq g'(x){\text{ für alle }}x\geq a.$

Zeige, dass

$f(x)\geq g(x){\text{ für alle }}x\geq a{\text{ gilt}}.$

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

1. Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
2. Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
3. Bestimme das Bild von ${}f$.
4. Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
5. Skizziere den Funktionsgraphen von ${}f$.

Aufgabe *

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.$

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${}f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf von

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-2x}-2e^{-x}.$

Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von ${}f$, ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,f(x)$ und ebenso für die Ableitung ${}f'$.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\in {]0,1]},\\0{\text{ für }}x=0,\end{cases}}$

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.$

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x}}$,
2. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {(\sin x)^{2}}{x}}$,
3. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x^{2}}}$,
4. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, ${}x\rightarrow 0$, existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${}\sin {\frac {1}{x}}$,
2. ${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$,
3. ${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die linearen Funktionen, die tangential zur Exponentialfunktion sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{x}.$

Die folgende Aufgabe soll ohne Bezug auf die zweite Ableitung gelöst werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\sin x+\cos x.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion vom Grad ${}d\geq 1$. Es sei ${}m$ die Anzahl der lokalen Maxima von ${}f$ und ${}n$ die Anzahl der lokalen Minima von ${}f$. Zeige, dass bei ${}d$ ungerade ${}m=n$ und bei ${}d$ gerade ${}\vert {m-n}\vert =1$ ist.

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