Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 21

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼x^2\cdot \exp (x^3-4x).$

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\ln :{ℝ}_{+}⟶ℝ.$

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 21.1).

Aufgabe

Bestimme die $1034871$-te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼\sin (\cos x).$

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼(\sin x)(\cos x).$

Aufgabe

Bestimme für $n\in \mathbb{N}$ die Ableitung der Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼(\sin x{)}^n.$

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$D⟶ℝ,x⟼\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]⟶[-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]⟶[-1,1]$

induziert.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=1+\ln x-\frac{1}{x}.$

a) Zeige, dass $f$ eine stetige Bijektion zwischen ${ℝ}_{+}$ und $ℝ$ definiert.

b) Bestimme das Urbild $u$ von $0$ unter $f$ sowie $f^{\prime }(u)$ und $(f^{-1}{)}^{\prime }(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.

Aufgabe *

Es seien

$f,g:ℝ⟶ℝ$

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei $a\in ℝ$. Es gelte

$f(a)\ge g(a)\text{ und }{f}^{\prime }(x)\ge g^{\prime }(x)\text{ für alle }x\ge a.$

Zeige, dass

$f(x)\ge g(x)\text{ für alle }x\ge a\text{ gilt}.$

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f:ℝ\setminus \{0\}⟶ℝ,x⟼f(x)=e^{-\frac{1}{x}}.$

a) Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.

b) Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.

c) Bestimme das Bild von $f$.

d) Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.

e) Skizziere den Funktionsgraphen von $f$.

Aufgabe *

Betrachte die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=(2x+3)e^{-x^2}.$

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von $f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf von

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=e^{-2x}-2e^{-x}.$

Bestimme insbesondere das Monotonieverhalten, Extrema von $f$, ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)$ und ebenso für die Ableitung $f^{\prime }$.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f(x)=\{\begin{array}{c}x\sin \frac{1}{x}\text{ für }x\in ]0,1],\\ 0\text{ für }x=0,\end{array}$

stetig ist und unendlich viele Nullstellen besitzt.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge

$\frac{\sin n}{n},n\in {\mathbb{N}}_{+}.$

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$,
2. ${\lim }_{x\to 0}\frac{(\sin x{)}^2}{x}$,
3. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x^2}$,
4. ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{\ln x}$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für $x\in ℝ\setminus \{0\}$, $x\to 0$, existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

1. $\sin \frac{1}{x}$,
2. $x\cdot \sin \frac{1}{x}$,
3. $\frac{1}{x}\cdot \sin \frac{1}{x}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die linearen Funktionen, die tangential zur Exponentialfunktion sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

${ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼x^x.$

Die folgende Aufgabe soll ohne Bezug auf die zweite Ableitung gelöst werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=\sin x+\cos x.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine Polynomfunktion vom Grad $d\ge 1$. Es sei $m$ die Anzahl der lokalen Maxima von $f$ und $n$ die Anzahl der lokalen Minima von $f$. Zeige, dass bei $d$ ungerade $m=n$ und bei $d$ gerade $|m-n|=1$ ist.

<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I | >> PDF-Version dieses Arbeitsblattes (PDF englisch) Zur Vorlesung (PDF)