Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 25/latex

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\setcounter{section}{25}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \sqrt{\pi} } x \sin x^2 \, d x} { . }

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\tan x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{n\in \N_+}{.} Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x^n \cdot \ln x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {e^{\sqrt{x} }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ x^3 }{ \sqrt[5]{ x^4+2} } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ \sin^{ 2 } x }{ \cos^{ 2 } x } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, für welche
\mathl{a \in \R}{} die Funktion
\mathdisp {a \longmapsto \int_{ -1 }^{ 2 } at^2-a^2t \, d t} { }
ein \definitionsverweis {Maximum}{}{} oder ein \definitionsverweis {Minimum}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch \maabbeledisp {} {[8,18]} {\R } {x} {f(x) = -x^2+25x-100 } {,} beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden und
\mathl{y=f(x)}{} ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und es seien
\mathl{b,c \in \R}{.} Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
\mathdisp {(bt+c) \cdot f(t)} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R_+} {\R_+ } {x} {x^{1/n} } {,} unter Verwendung der Stammfunktion von $x^n$ und Satz 25.4.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {[c,d] } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral
\mathdisp {\int_a^b f^{-1}(y) dy} { }
die Substitution
\mathl{y=f(x)}{} durchführt und anschließend partiell integriert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = 2x^3 +3e^x - \sin x } {,} über
\mathl{[-1,0]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \sqrt{x} - { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } + { \frac{ 1 }{ 2x+3 } } -e^{-x} } {,} über
\mathl{[1,4]}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathl{\int_{ 0 }^{ 8 } f ( t) \, d t}{,} wobei die Funktion $f$ durch
\mathdisp {f(t)= \begin{cases} t+1 , \text{ falls } 0 \leq t \leq 2 \, , \\ t^2-6t+11 , \text{ falls } 2 < t \leq 5 \, , \\ 6 , \text{ falls } 5 < t \leq 6 \, , \\ -2t+18 \, , \text{ falls } 6 < t \leq 8 \, , \end{cases}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x^3 \cdot \cos x -x^2 \cdot \sin x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\arcsin x} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\sin ( \ln x)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {e^x \cdot { \frac{ x^2+1 }{ (x+1)^2 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und $H$ eine Stammfunktion von $G$. Es seien
\mathl{a,b,c \in \R}{.} Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
\mathdisp {(at^2+bt+c) \cdot f(t)} { }

}
{} {}



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