Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

\frac{3 X^{5} + 4 X^{4} - 2 X^{2} + 5 X - 6}{X^{3}} .

Bestimme die Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung in Beispiel 26.6 durch Einsetzen von einigen Zahlen für $X$ .

\frac{1}{X^{2} (X^{2} + 1)} .

\frac{1}{X^{3} - 1} .

\frac{1}{X^{3} (X - 1)^{3}} .

\frac{X^{3} + 4 X^{2} + 7}{X^{2} - X - 2} .

\frac{X^{7} + X^{4} - 5 X + 3}{X^{8} + X^{6} - X^{4} - X^{2}} .

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

\frac{1}{x^{2} + 5} .

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

\frac{1}{x^{2} - 5} .

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

\frac{1}{2 x^{2} + x - 1} .

Bestimme eine Stammfunktion von

\frac{5 x^{3} + 4 x - 3}{x^{2} + 1}

mittels Partialbruchzerlegung.

Wir betrachten die Funktion

f : ℝ ∖ {1} ⟶ ℝ, x ⟼ \frac{x^{5} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x - 1)^{2} (x^{2} + 1)} .

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f$ .

b) Bestimme eine Stammfunktion von $f$ für $x > 1$ .

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl $1 / 60$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.

Aufgaben zum Abgeben

\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 1}{4 x + 3}

in der neuen Variablen $u = 4 x + 3$ . Berechne die Stammfunktion über die reelle Partialbruchzerlegung und über die Substitution $u = 4 x + 3$ .

\frac{1}{X^{4} - 1} .

\frac{1}{X (X - 1) (X - 2) (X - 3)} .

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

\frac{1}{1 + x^{4}} .

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

\frac{3 x - 5}{(x^{2} + 2 x + 7)^{2}} .

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

\frac{7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{3} - 9 x^{2} + 2}{x^{7} - 3 x^{6} + 2 x^{4} - 3 x^{3} + 2 x - 5} .