Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex

\setcounter{section}{31}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $\R$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert { v } \Vert^2 - \Vert { w } \Vert^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $\R$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die sogenannte \stichwort {Parallelogrammgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert ^2 + \Vert {v-w} \Vert ^2 }
{ =} { 2 \Vert { v } \Vert ^2 +2 \Vert { w } \Vert ^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $\R$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der zugehörige \definitionsverweis {Abstand}{}{} die folgenden Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {dabei sind $u,v,w \in V$} {} {.} \aufzaehlungvier{Es ist $d( v , w ) \geq 0$. }{Es ist $d( v , w ) = 0$ genau dann, wenn
\mathl{v=w}{.} }{Es ist $d( v , w ) = d( w , v )$. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( u , w ) }
{ \leq} { d( u , v ) + d( v , w ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}}{} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^3$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { \R^3 } { \R } { (x,y,z) } { 3x+y+7z } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$ ist, wenn die zugehörige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^n } { V } {e_i } {u_i } {,} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} zwischen \mathkor {} {\R^n} {und} {V} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} { \R^3 } { \R^3 } {} an, die keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist, für die aber für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = 0 \text{ genau dann, wenn } \left\langle \varphi(u) , \varphi(v) \right\rangle = 0} { }
gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$. Beweise den \stichwort {Satz des Pythagoras} {:} Für zwei Vektoren $v,w \in V$, die \definitionsverweis {senkrecht}{}{} aufeinander stehen, gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert^2 }
{ =} { \Vert { v } \Vert^2 + \Vert { w } \Vert^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \\ -3\\9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 0\\3 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^4$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } \left\langle v , u_i \right\rangle u_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\ -4\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$, versehen mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{,} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^4$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R } { (x,y,z,w) } { 4x-3y+2z-5w } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} { V } { V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungvier{ $\varphi$ ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Für jeden Vektor $v$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert { v } \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für jede \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} $u_i, i = 1 , \ldots , n$, ist auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis. }{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, derart, dass auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis ist.}

}
{} {}