Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex

\setcounter{section}{31}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $\R$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $\R$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die sogenannte \stichwort {Parallelogrammgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert ^2 + \Vert {v-w} \Vert ^2 }
{ =} { 2 \Vert {v} \Vert ^2 +2 \Vert {w} \Vert ^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $\R$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der zugehörige \definitionsverweis {Abstand}{}{} die folgenden Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {dabei sind $u,v,w \in V$} {} {.} \aufzaehlungvier{Es ist $d( v , w ) \geq 0$. }{Es ist $d( v , w ) = 0$ genau dann, wenn
\mathl{v=w}{.} }{Es ist $d( v , w ) = d( w , v )$. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( u , w ) }
{ \leq} { d( u , v ) + d( v , w ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\8\\ 9 \end{pmatrix}}{} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^3$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei $U \subseteq \R^3$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {3x+y+7z } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$ ist, wenn die zugehörige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^n} {V } {e_i} {u_i } {,} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} zwischen \mathkor {} {\R^n} {und} {V} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} an, die keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist, für die aber für alle $u,v \in V$ die Beziehung
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = 0 \text{ genau dann, wenn } \left\langle \varphi(u) , \varphi(v) \right\rangle =0} { }
gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$. Beweise den \stichwort {Satz des Pythagoras} {:} Für zwei Vektoren $v,w \in V$, die \definitionsverweis {senkrecht}{}{} aufeinander stehen, gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert^2 }
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 5 \\8\\ -3\\9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 6 \\2\\ 0\\3 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^4$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } \left\langle v , u_i \right\rangle u_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-4\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\3\\ 1 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$, versehen mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{,} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^4$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei $U \subseteq \R^4$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R } {(x,y,z,w)} {4x-3y+2z-5w } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungvier{ $\varphi$ ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Für jeden Vektor $v$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für jede \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} $u_i, i = 1 , \ldots , n$, ist auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis. }{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, derart, dass auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis ist.}

}
{} {}