Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 32

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Summenmetrik im eine Metrik ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsmetrik im eine Metrik ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass die induzierte Metrik auf in der Tat eine Metrik ist.


Aufgabe

Zeige, dass auf jeder Menge die diskrete Metrik in der Tat eine Metrik ist.


Aufgabe *

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein Untervektorraum und ein Vektor. Zeige, dass der Abstand zu einem Vektor genau in dem (eindeutig bestimmten) Punkt minimal wird, für den orthogonal zu ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

  1. Die leere Menge und die Gesamtmenge sind offen.
  2. Es sei eine beliebige Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung
    offen.
  3. Es sei eine endliche Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt
    offen.


Aufgabe *

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge abgeschlossen ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit


Aufgabe

Sei eine Menge, die mit der diskreten Metrik versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von sowohl offen als auch abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

in abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen in abgeschlossen ist.


Aufgabe

Es seien und zwei verschiedene Punkte im und die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass abgeschlossen in ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen in weder offen noch abgeschlossen ist.


Aufgabe *

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge divergiert.


Aufgabe

Zeige, dass eine Folge in einem metrischen Raum maximal einen Grenzwert besitzt.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann gegen einen Punkt konvergiert, wenn die reelle Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von abgeschlossen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in der

a) euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) und der Maximumsmetrik.

Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln abgeschlossen sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob im (versehen mit der euklidischen Metrik) die Folge

konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den minimalen Abstand von zu einem Punkt der Ebene , die durch die Gleichung gegeben ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Für welche Punkte der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt minimal?


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass eine Teilmenge genau dann offen in ist, wenn es eine in offene Menge mit gibt.




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