Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 31

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.


Aufgabe *

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

gilt.


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist .
  4. Es ist


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe *

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe *

Sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

eine Isometrie zwischen und ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle die Beziehung

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren , die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für jeden Vektor die Beziehung

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des , versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.


Aufgabe (4 Punkte)

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für jeden Vektor mit ist auch .
  3. Für jede Orthonormalbasis , ist auch , eine Orthonormalbasis.
  4. Es gibt eine Orthonormalbasis , derart, dass auch , eine Orthonormalbasis ist.




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