Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 32/latex

\setcounter{section}{32}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Summenmetrik}{}{} im $\R^n$ eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Maximumsmetrik}{}{} im $\R^n$ eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die \definitionsverweis {induzierte Metrik}{}{} auf $T$ in der Tat eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf jeder Menge $M$ die \definitionsverweis {diskrete Metrik}{}{} in der Tat eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {P=\left( \frac{3}{4} , \, -1 \right)} {und} {Q= \left( 2 , \, \frac{1}{5} \right)} {} zwei Punkte im $\R^2$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mathl{U \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} und
\mathl{v \in V}{} ein Vektor. Zeige, dass der Abstand
\mathl{d(v,u)}{} zu einem Vektor
\mathl{u \in U}{} genau in dem \zusatzklammer {eindeutig bestimmten} {} {} Punkt
\mathl{u_0 \in U}{} minimal wird, für den
\mathl{v-u_0}{} \definitionsverweis {orthogonal}{}{} zu $U$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten. \aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {leere Menge}{}{} $\emptyset$ und die Gesamtmenge $M$ sind \definitionsverweis {offen}{}{.} }{Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathdisp {\bigcup_{i \in I} U_i} { }
offen. }{Es sei $I$ eine endliche Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch der \definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} U_i} { }
offen. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass in $M$ die sogenannte \stichwort {Hausdorff} {-}Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten \mathkor {} {x} {und} {y} {} gibt es \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} \mathkor {} {U} {und} {V} {} mit
\mathdisp {x \in U \text{ und } y \in V \text{ und } U \cap V = \emptyset} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge, die mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{} versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von $M$ sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge
\mathdisp {S= { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2 +y^2 = 1 \right\} }} { }
in $\R^2$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} in ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} zwei verschiedene Punkte im $\R^2$ und $G$ die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^2$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ in $\R$ weder \definitionsverweis {offen}{}{} noch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Folge ${ \left( z^n \right) }_{ n \in \N }$ gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Folge ${ \left( z^n \right) }_{ n \in \N }$ \definitionsverweis {divergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} maximal einen \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen einen Punkt
\mathl{x \in M}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathl{d(x_n,x)}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass der \definitionsverweis {Rand}{}{} von $T$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {P=\left( 3, { \frac{ 5 }{ 2 } } , \, 0 \right)} {und} {Q= \left( 1 , \, -6 , \, { \frac{ 2 }{ 5 } } \right)} {} zwei Punkte im $\R^3$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in der

a) euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) und der Maximumsmetrik.

Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {abgeschlossenen Kugeln}{}{} $B \left( x,\epsilon \right)$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob im $\R^3$ \zusatzklammer {versehen mit der \definitionsverweis {euklidischen Metrik}{}{}} {} {} die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {x_n= \left( { \frac{ n^5-4n^2 }{ e^n } } , \, { \frac{ -5n^4+n^3-n^{-1} }{ 13n^4-9n^2+5n+6 } } , \, { \frac{ 4 \cos^{ 3 } n +6n^2+5n-2 }{ 2n^2- \sin^{ 7 } n } } \right)} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den minimalen Abstand von
\mathl{(4,1,-5)}{} zu einem Punkt der Ebene $E$, die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2x-7y+3z }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Für welche Punkte
\mathl{(t,t^2)}{} der \definitionsverweis {Standardparabel}{}{} wird der \definitionsverweis {Abstand}{}{} zum Punkt
\mathl{(0,1)}{} minimal?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge mit der \definitionsverweis {induzierten Metrik}{}{.} Zeige, dass eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \subseteq }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {offen}{}{} in $T$ ist, wenn es eine in $M$ offene Menge $U$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ = }{ T \cap U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}