Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 51/latex

\setcounter{section}{51}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2} {\R \times \R_+ } {(x,y)} {(x, e^{x+y}) } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Man gebe explizit eine \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x,y+f(x)) } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} mit einer \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $\psi$ derart, dass $\psi$ nicht differenzierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere explizit einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} zwischen $\R^n$ und einer offenen Kugel
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \subseteq \R^n}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{.} Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^n} {\R^n } {(x_1 , \ldots , x_n)} { (f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n)) } {,}Zeige: \aufzaehlungdrei{Die Abbildung $f$ ist \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.} }{Das totale Differential von $f$ in $0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen $f_i, \, i =1 , \ldots , n$, die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} in $0$ nicht $0$ sind. }{$f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von $0$ bijektiv, wenn die einzelnen $f_i$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x^2y,x- \sin y ) } {.} Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{P=(1,0)}{} regulär ist und bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} von $\varphi |_U$ in $\varphi(P)$, wobei $U$ eine offene Umgebung von $P$ sei \zusatzklammer {die nicht explizit angegeben werden muss} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{U,V,W}{} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und seien \mathkor {} {\varphi:U \longrightarrow V} {und} {\psi:V \longrightarrow W} {} \definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.} Es sei $\varphi$ \definitionsverweis {regulär}{}{} in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $\psi$ regulär in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{\varphi(P) }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ist dann
\mathl{\psi \circ \varphi}{} regulär in $P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Das \definitionsverweis {komplexe}{}{} Quadrieren \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} kann man reell als \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } { x+{ \mathrm i}y = (x,y)} {(x+ { \mathrm i} y)^2 = x^2-y^2 +2{ \mathrm i}xy = (x^2-y^2,2xy) } {,} schreiben. Untersuche $\varphi$ auf \definitionsverweis {reguläre Punkte}{}{.} Auf welchen \zusatzklammer {möglichst großen} {} {} offenen Teilmengen ist $\varphi$ \definitionsverweis {umkehrbar}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} das zeigt, dass im Satz über die \zusatzklammer {lokale} {} {} Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe für jedes
\mathl{n \in \N_+}{} eine bijektive, \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildung \maabbdisp {\varphi_n} {\R^n} {\R^n } {} an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht \definitionsverweis {regulär}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Seien \mathkor {} {U_1} {und} {U_2} {} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} in \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{,} die in einem Punkt
\mathl{P \in U_1}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} sei derart, dass die Umkehrabbildung in
\mathl{Q=\varphi(P)}{} auch differenzierbar ist. Zeige, dass das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} bijektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} zur Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {.}

}
{} {(Tipp: Versuche, diese Funktion als Hintereinanderschaltung von einfacheren Abbildungen zu schreiben.)}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{,}
\mathl{G \subseteq V_1}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {V_2 } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{U \subseteq G}{} eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt
\mathl{P \in U}{} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist. Zeige, dass dann das \definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} offen in $V_2$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y,xy) } {.} \aufzaehlungvier{Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} von $\varphi$. }{Zeige, dass in den \definitionsverweis {kritischen Punkten}{}{} die Abbildung $\varphi$ nicht \definitionsverweis {lokal invertierbar}{}{} ist, dass also die Einschränkung von $\varphi$ in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird. }{Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar
\mathl{(s,p)}{} als $(s,p)=(x+y,xy)$ schreiben? }{Ist ein reelles Zahlenpaar
\mathl{(x,y)}{} bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe
\mathl{x+y}{} und das Produkt
\mathl{xy}{} festgelegt? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} {(x+y+z,xy+xz+yz,xyz) } {.} Zeige, dass ein Punkt
\mathl{(x,y,z)}{} genau dann ein \definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{} von $\varphi$ ist, wenn in
\mathl{(x,y,z)}{} zwei Zahlen doppelt vorkommen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(x^2-y^2z,y+ \sin xz ) } {.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} von $\varphi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere \zusatzklammer {mindestens einen} {} {} Punkte enthält.

}
{} {}