- Aufwärmaufgaben
Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Bestimme für die
Funktion
-
den maximalen Definitionsbereich
und untersuche die Funktion auf
Extrema.
Bestimme die
kritischen Punkte
der Funktion
-
und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein
lokales Extremum
vorliegt.
Untersuche die
Funktion
-
auf
kritische Punkte
und
Extrema.
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe
definierten Funktion
-
Wir betrachten die Abbildung
-
(es ist also
).
a) Berechne die
partiellen Ableitungen
von
und stelle den
Gradienten
zu
auf.
b) Bestimme die
isolierten
lokalen Extrema
von
.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Wir betrachten die Funktion
-
Für welches
besitzt die zugehörige zweistufige
(maximale)
untere Treppenfunktion zu
den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Wir betrachten die Funktion
-
Für welche
,
,
besitzt die zugehörige dreistufige
(maximale)
untere Treppenfunktion
zu
den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
Es sei
ein
Körper,
ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum
und
eine
Bilinearform
auf
. Zeige, dass
genau dann
symmetrisch
ist, wenn es eine Basis
von
mit
-

für alle
gibt.
Sei
ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
mit einer
symmetrischen
Bilinearform
auf
. Es sei
eine
Orthogonalbasis
auf
mit der Eigenschaft
für alle
. Zeige, dass
positiv definit
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Man gebe ein Beispiel für einen
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
mit einer
symmetrischen
Bilinearform
auf
und einer
Basis
von
derart, dass
für alle
ist, aber
nicht
positiv definit
ist.
Sei
. Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Untersuche die
Funktion
-
auf
Extrema.
Sei
-
eine
Funktion und betrachte
-
Zeige, dass
allenfalls im Nullpunkt
ein
isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn
in
ein isoliertes lokales Extremum besitzt.