Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 50

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Aufwärmaufgaben

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Bestimme für die Funktion

den maximalen Definitionsbereich und untersuche die Funktion auf Extrema.


Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.


Aufgabe *

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.


Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .


Aufgabe *

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Zeige, dass genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis von mit

für alle gibt.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf . Es sei eine Orthogonalbasis auf mit der Eigenschaft für alle . Zeige, dass positiv definit ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge oder sind.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von in jedem Punkt symmetrisch ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf und einer Basis von derart, dass für alle ist, aber nicht positiv definit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

eine Funktion und betrachte

Zeige, dass allenfalls im Nullpunkt ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.




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