Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 52

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt , offen und

eine differenzierbare Funktion. Es sei

eine differenzierbare Kurve, die ganz in einer Niveaumenge von verläuft. Zeige, dass

ist für und alle .


Aufgabe

Es seien und Mengen und ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion

über einem Punkt . Kann die Faser leer sein?


Aufgabe

Betrachte die Abbildung

Für welche Punkte ist regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über .


Aufgabe

Seien und Mengen und seien

Abbildungen. Zu einem Punkt sei die Faser von über . Zeige, dass die Faser der Produktabbildung über gleich ist.


Aufgabe

Es seien

zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen und stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion

stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von als Graph an.


Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

Man gebe, falls dies möglich ist,

Diffeomorphismen zwischen und den Fasern von an.


Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung .

b) Zeige, dass in lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung besitzt, und bestimme das totale Differential von im Punkt .

c) Man gebe alle Punkte an, in denen nicht lokal invertierbar ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass in regulär ist.


Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 33.17 an.

Aufgabe

Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?


In der speziellen Relativitätstheorie ist auf dem die Lorentz-Form

wichtig, wobei die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese Form ist eine nicht-ausgeartete Bilinearform vom Typ . Sie erlaubt es, die „Welt“ in lichtartige, zeitartige und raumartige Vektoren aufzuteilen, und den Zusammenhang dieser fundamentalen Größen zu verstehen. Die zugehörige quadratische Form ist die Abbildung

Ein Vektor heißt zeitartig, wenn ist, lichtartig, wenn ist und raumartig, wenn ist.

Mathematisch setzt man im Allgemeinen .

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Fasern der Abbildung

in jedem Punkt lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , ein offenes Intervall und eine stetige Bijektion

gibt (wobei die Faser von durch bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion und es sei ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung derart, dass ist für alle , . Zeige, dass dann in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

im Punkt . Man gebe eine differenzierbare Abbildung

an, wobei eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes an die Faser von durch ist, die eine Bijektion zwischen und stiftet ( offen).




Aufgaben zum Hochladen

Aufgabe (5 Punkte)

Sei

Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.




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