Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 52

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$, ${}U\subseteq V$ offen und

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow U$

eine differenzierbare Kurve, die ganz in einer Niveaumenge von ${}f$ verläuft. Zeige, dass

${}\left\langle \operatorname {grad} \,f(P),\gamma '(t)\right\rangle =0\,$

ist für ${}P=\gamma (t)$ und alle ${}t\in I$.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und ${}L\times M$ ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion

$L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y,$

über einem Punkt ${}y\in M$. Kann die Faser leer sein?

Aufgabe

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-x^{2}-2x+2.$

Für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R}$ ist ${}\varphi$ regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über ${}0$.

Aufgabe

Seien ${}L_{1},\ldots ,L_{n}$ und ${}M_{1},\ldots ,M_{n}$ Mengen und seien

$\varphi _{i}\colon L_{i}\longrightarrow M_{i}$

Abbildungen. Zu einem Punkt ${}P_{i}\in M_{i}$ sei ${}F_{i}\subseteq L_{i}$ die Faser von ${}\varphi _{i}$ über ${}P_{i}$. Zeige, dass die Faser der Produktabbildung ${}\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}$ über ${}P=(P_{1},\ldots ,P_{n})$ gleich ${}F_{1}\times \cdots \times F_{n}$ ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen ${}f'$ und ${}g'$ stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x)+g(y),$

stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von ${}\varphi$ als Graph an.

Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen ${}\mathbb {R}$ und den Fasern von ${}\varphi$ an.

Aufgabe

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.$

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {y^{2}}{x}},\,{\frac {y^{3}}{x^{2}}}\right).$

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,2)$ lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung ${}\psi =\varphi ^{-1}$ besitzt, und bestimme das totale Differential von ${}\psi$ im Punkt ${}\varphi (P)$.

c) Man gebe alle Punkte ${}Q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ an, in denen ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(a,b,c,d,u,v)\longmapsto (au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^{2},bd-c^{2}).$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}(1,1,0,0,1,1)$ regulär ist.

Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 33.17 an.

Aufgabe

Im Nullpunkt ${}0\in \mathbb {R} ^{3}$ befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch ${}x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut ${}N\cong \mathbb {R} ^{2}$ (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

$\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?

In der speziellen Relativitätstheorie ist auf dem ${}V=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ die Lorentz-Form

$\langle v,w\rangle =\langle (t,x_{1},\ldots ,x_{n}),(s,y_{1},\ldots ,y_{n})\rangle :=-c^{2}ts+x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$

wichtig, wobei ${}c$ die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese Form ist eine nicht-ausgeartete Bilinearform vom Typ ${}(n,1)$. Sie erlaubt es, die „Welt“ in lichtartige, zeitartige und raumartige Vektoren aufzuteilen, und den Zusammenhang dieser fundamentalen Größen zu verstehen. Die zugehörige quadratische Form ist die Abbildung

$\varphi \colon V=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto -c^{2}t^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.$

Ein Vektor ${}v\in V$ heißt zeitartig, wenn ${}\varphi (v)<0$ ist, lichtartig, wenn ${}\varphi (v)=0$ ist und raumartig, wenn ${}\varphi (v)>0$ ist.

Mathematisch setzt man im Allgemeinen ${}c=1$.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto -t^{2}+x^{2}.$

Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x,y)\longmapsto -t^{2}+x^{2}+y^{2}.$

Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Fasern der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{3},$

in jedem Punkt ${}P=(x,y)$ lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt ${}P=(x,y)$ eine offene Umgebung ${}(x,y)\in U$, ein offenes Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und eine stetige Bijektion

$I\longrightarrow U\cap F_{P},$

gibt (wobei ${}F_{P}$ die Faser von ${}\varphi$ durch ${}P$ bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion und es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass ${}\varphi (Q)\neq \varphi (P)$ ist für alle ${}Q\in U$, ${}Q\neq P$. Zeige, dass dann ${}\varphi$ in ${}P$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2},$

im Punkt ${}P=(1,-1,2)$. Man gebe eine differenzierbare Abbildung

$\psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

an, wobei ${}U$ eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes ${}T_{P}F$ an die Faser ${}F_{P}$ von ${}\varphi$ durch ${}P$ ist, die eine Bijektion zwischen ${}U$ und ${}V\cap F_{P}$ stiftet ($P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen).

Aufgaben zum Hochladen

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}.$

Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.