Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+},\,(x,y)\longmapsto (x,e^{x+y}),$

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,y+f(x)),$

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

mit einer stetigen Umkehrabbildung ${}\psi$ derart, dass ${}\psi$ nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und einer offenen Kugel ${}U{\left(0,r\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe

Es seien

$f_{1},\ldots ,f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})),$

Zeige:

1. Die Abbildung ${}f$ ist differenzierbar.
2. Das totale Differential von ${}f$ in ${}0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen ${}f_{i},\,i=1,\ldots ,n$, die Ableitungen in ${}0$ nicht ${}0$ sind.
3. ${}f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von ${}0$ bijektiv, wenn die einzelnen ${}f_{i}$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.

Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}y,x-\sin y).$

Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,0)$ regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von ${}\varphi |_{U}$ in ${}\varphi (P)$, wobei ${}U$ eine offene Umgebung von ${}P$ sei (die nicht explizit angegeben werden muss).

Aufgabe

Es seien ${}U,V,W$ euklidische Vektorräume und seien ${}\varphi :U\longrightarrow V$ und ${}\psi :V\longrightarrow W$ differenzierbare Abbildungen. Es sei ${}\varphi$ regulär in ${}P\in U$ und ${}\psi$ regulär in ${}Q=\varphi (P)\in V$. Ist dann ${}\psi \circ \varphi$ regulär in ${}P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

kann man reell als

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x+{\mathrm {i} }y=(x,y)\longmapsto (x+{\mathrm {i} }y)^{2}=x^{2}-y^{2}+2{\mathrm {i} }xy=(x^{2}-y^{2},2xy),$

schreiben. Untersuche ${}\varphi$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist ${}\varphi$ umkehrbar?

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

Aufgabe *

Man gebe für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

$\varphi _{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Seien ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ offene Mengen in euklidischen Vektorräumen ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Es sei

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt ${}P\in U_{1}$ differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in ${}Q=\varphi (P)$ auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y).$

(Tipp: Versuche, diese Funktion als Hintereinanderschaltung von einfacheren Abbildungen zu schreiben.)

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}G\subseteq V_{1}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}U\subseteq G$ eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt ${}P\in U$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild ${}\varphi (U)$ offen in ${}V_{2}$ ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).$

1. Bestimme die regulären Punkte von ${}\varphi$.
2. Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von ${}\varphi$ in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
3. Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar ${}(s,p)$ als ${}(s,p)=(x+y,xy)$ schreiben?
4. Ist ein reelles Zahlenpaar ${}(x,y)$ bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe ${}x+y$ und das Produkt ${}xy$ festgelegt?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$

Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y,z)$ genau dann ein kritischer Punkt von ${}\varphi$ ist, wenn in ${}(x,y,z)$ zwei Zahlen doppelt vorkommen.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}-y^{2}z,y+\sin xz).$

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von ${}\varphi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.