Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 51

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.


Aufgabe

Es sei

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

mit einer stetigen Umkehrabbildung derart, dass nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen und einer offenen Kugel .


Aufgabe

Es seien

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

Zeige:
  1. Die Abbildung ist differenzierbar.
  2. Das totale Differential von in ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen , die Ableitungen in nicht sind.
  3. ist genau dann auf einer offenen Umgebung von bijektiv, wenn die einzelnen in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.


Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

Zeige, dass in regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von in , wobei eine offene Umgebung von sei (die nicht explizit angegeben werden muss).


Aufgabe

Seien euklidische Vektorräume und seien und differenzierbare Abbildungen. Es sei regulär in und regulär in . Ist dann regulär in ? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

kann man reell als

schreiben. Untersuche auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist umkehrbar?


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.


Aufgabe *

Man gebe für jedes eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Seien und offene Mengen in euklidischen Vektorräumen und . Es sei

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential bijektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

(Tipp: Versuche, diese Funktion als Hintereinanderschaltung von einfacheren Abbildungen zu schreiben.)

Aufgabe (3 Punkte)

Seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, offen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt das totale Differential bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild offen in ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die Abbildung

  1. Bestimme die regulären Punkte von .
  2. Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
  3. Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar als schreiben?
  4. Ist ein reelles Zahlenpaar bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe und das Produkt festgelegt?


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein kritischer Punkt von ist, wenn in zwei Zahlen doppelt vorkommen.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.




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