Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

${ℝ}^2⟶ℝ\times {ℝ}_{+},(x,y)⟼(x,e^{x+y}),$

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.

Aufgabe

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x),$

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

${ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x,y+f(x)),$

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

$\phi :U_1⟶U_2$

mit einer stetigen Umkehrabbildung $\psi$ derart, dass $\psi$ nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Definiere explizit einen Diffeomorphismus zwischen ${ℝ}^n$ und einer offenen Kugel $U(0,r)\subseteq {ℝ}^n$.

Aufgabe

Es seien

$f_1,\dots ,f_n:ℝ⟶ℝ$

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

$f:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n,(x_1,\dots ,x_n)⟼(f_1(x_1),\dots ,f_n(x_n)),$

Zeige:

1. Die Abbildung $f$ ist differenzierbar.
2. Das totale Differential von $f$ in $0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen $f_i,i=1,\dots ,n$, die Ableitungen in $0$ nicht $0$ sind.
3. $f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von $0$ bijektiv, wenn die einzelnen $f_i$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.

Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x^{2}y,x-\sin y).$

Zeige, dass $\phi$ in $P=(1,0)$ regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von $\phi {|}_U$ in $\phi (P)$, wobei $U$ eine offene Umgebung von $P$ sei (die nicht explizit angegeben werden muss).

Aufgabe

Es seien $U,V,W$ euklidische Vektorräume und seien $\phi :U⟶V$ und $\psi :V⟶W$ differenzierbare Abbildungen. Es sei $\phi$ regulär in  $P\in U$  und $\psi$ regulär in  $Q=\phi (P)\in V$.  Ist dann $\psi \circ \phi$ regulär in $P$? Unter welchen Voraussetzungen stimmt dies?

Aufgabe

Das komplexe Quadrieren

$ℂ⟶ℂ,z⟼z^2,$

kann man reell als

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,x+\mathrm{i}y=(x,y)⟼(x+\mathrm{i}y{)}^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy=(x^2-y^2,2xy),$

schreiben. Untersuche $\phi$ auf reguläre Punkte. Auf welchen (möglichst großen) offenen Teilmengen ist $\phi$ umkehrbar?

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,$

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

Aufgabe *

Man gebe für jedes $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

${\phi }_n:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Seien $U_1$ und $U_2$ offene Mengen in euklidischen Vektorräumen $V_1$ und $V_2$. Es sei

$\phi :U_1⟶U_2$

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt $P\in U_1$ differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in $Q=\phi (P)$ auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential ${\left(D\phi \right)}_P$ bijektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

${ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x+y^2,-y^4-2x{y}^2-x^2+y^2+x+y).$

(Tipp: Versuche, diese Funktion als Hintereinanderschaltung von einfacheren Abbildungen zu schreiben.)

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $V_1$ und $V_2$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $G\subseteq V_1$ offen und sei

$\phi :G⟶V_2$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $U\subseteq G$ eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt $P\in U$ das totale Differential ${\left(D\phi \right)}_P$ bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild $\phi (U)$ offen in $V_2$ ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x+y,xy).$

1. Bestimme die regulären Punkte von $\phi$.
2. Zeige, dass in den kritischen Punkten die Abbildung $\phi$ nicht lokal invertierbar ist, dass also die Einschränkung von $\phi$ in keiner offenen Umgebung eines kritischen Punktes bijektiv wird.
3. Lässt sich jedes reelle Zahlenpaar $(s,p)$ als $(s,p)=(x+y,xy)$ schreiben?
4. Ist ein reelles Zahlenpaar $(x,y)$ bis auf Vertauschen der Komponenten eindeutig durch die Summe $x+y$ und das Produkt $xy$ festgelegt?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3,(x,y,z)⟼(x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$

Zeige, dass ein Punkt $(x,y,z)$ genau dann ein kritischer Punkt von $\phi$ ist, wenn in $(x,y,z)$ zwei Zahlen doppelt vorkommen.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^2,(x,y,z)⟼(x^2-y^{2}z,y+\sin xz).$

Zeige, dass die Menge der kritischen Punkte von $\phi$ eine Gerade umfasst, aber auch noch weitere (mindestens einen) Punkte enthält.