Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 56/latex

\setcounter{section}{56}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ Q } xy \, d \lambda^2} { }
über dem Quader
\mathl{Q=[a,b] \times [c,d]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ der \definitionsverweis {Subgraph}{}{} unterhalb der \definitionsverweis {Standardparabel}{}{} zwischen \mathkor {} {1} {und} {3} {.} Berechne das \definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ G } x^2+xy-y^3 \, d \lambda^2} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} des oberen Einheitshalbkreises
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \mid x^2+y^2 \leq 1 , \, y \geq 0 \right\} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Integral zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(r,s,t) }
{ =} { s^2 t+r \cos t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über dem Einheitswürfel
\mathl{W=[0,1]^3}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Integral
\mathl{\int_T f d \lambda^3}{,} wobei
\mathl{f(x,y,z)=xz}{} und $T$ der Einheitszylinder
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2 \leq 1 , \, -1 \leq x,y \leq 1 , \, 0 \leq z \leq 1 \right\} }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Auf der quadratischen Platte
\mathl{P=[-1,1] \times [-1,1]}{} sei eine elektrische Ladung gemäß
\mathl{f(x,y)=y-x^2}{} verteilt. Bestimme den \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} der positiven Teilladung und den Schwerpunkt der negativen Teilladung.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ der \definitionsverweis {Subgraph}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {.} Berechne die \definitionsverweis {Integrale}{}{}

a)
\mathl{\int_{ G } x \, d \lambda^2}{,}

b)
\mathl{\int_{ G } y \, d \lambda^2}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Integral}{}{} zur Funktion
\mathl{f(x,y)=x ( \sin x)( \cos \left( xy \right))}{} über dem Rechteck
\mathl{Q= [0,3 \pi] \times [0,1]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne mittels Integration den \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} eines Dreiecks, das durch die drei Punkte $(0,0),\, (a,0)$ und $(b,c)$ \zusatzklammer {mit
\mathl{a, c >0}{}} {} {} gegeben sei.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(u,v)} { { \frac{ 2uv }{ (u^2+1)(v^2+v+1) } } } {.} Für welche Quadrate
\mathl{Q=[a,a+1] \times [b,b+1]}{} der Kantenlänge $1$ wird das \definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ Q } f \, d \lambda^2} { }
maximal? Welchen Wert besitzt es?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Integral
\mathl{\int_{B(P,r)} x^2-y^3 d \lambda^2}{} über der Kreisscheibe
\mathl{B(P,r)}{} in Abhängigkeit von
\mathl{P=(a,b) \in\R^2}{} und
\mathl{r \in \R_+}{.}

}
{} {}