Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das Integral

$\int _{Q}xy\,d\lambda ^{2}$

über dem Quader ${}Q=[a,b]\times [c,d]$.

Aufgabe

Es sei ${}G$ der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen ${}1$ und ${}3$. Berechne das Integral

$\int _{G}x^{2}+xy-y^{3}\,d\lambda ^{2}.$

Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt des oberen Einheitshalbkreises

${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,y\geq 0\right\}}.$

Aufgabe *

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Aufgabe

Berechne das Integral ${}\int _{T}fd\lambda ^{3}$, wobei ${}f(x,y,z)=xz$ und ${}T$ der Einheitszylinder ${}{\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,-1\leq x,y\leq 1,\,0\leq z\leq 1\right\}}$ ist.

Aufgabe

Auf der quadratischen Platte ${}P=[-1,1]\times [-1,1]$ sei eine elektrische Ladung gemäß ${}f(x,y)=y-x^{2}$ verteilt. Bestimme den Schwerpunkt der positiven Teilladung und den Schwerpunkt der negativen Teilladung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Berechne die Integrale

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$,

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion ${}f(x,y)=x(\sin x)(\cos \left(xy\right))$ über dem Rechteck ${}Q=[0,3\pi ]\times [0,1]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mittels Integration den Schwerpunkt eines Dreiecks, das durch die drei Punkte ${}(0,0),\,(a,0)$ und ${}(b,c)$ (mit ${}a,c>0$) gegeben sei.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\frac {2uv}{(u^{2}+1)(v^{2}+v+1)}}.$

Für welche Quadrate ${}Q=[a,a+1]\times [b,b+1]$ der Kantenlänge ${}1$ wird das Integral

$\int _{Q}f\,d\lambda ^{2}$

maximal? Welchen Wert besitzt es?

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral ${}\int _{B(P,r)}x^{2}-y^{3}d\lambda ^{2}$ über der Kreisscheibe ${}B(P,r)$ in Abhängigkeit von ${}P=(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ und ${}r\in \mathbb {R} _{+}$.