Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das Integral

${\int }_{Q}xyd{\lambda }^2$

über dem Quader $Q=[a,b]\times [c,d]$.

Aufgabe

Es sei $G$ der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen $1$ und $3$. Berechne das Integral

${\int }_G{x}^2+xy-y^{3}d{\lambda }^2.$

Aufgabe

Bestimme den Schwerpunkt des oberen Einheitshalbkreises

$\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,y\ge 0\}.$

Aufgabe *

Berechne das Integral zur Funktion

$f(r,s,t)=s^{2}t+r\cos t$

über dem Einheitswürfel $W=[0,1{]}^3$.

Aufgabe

Berechne das Integral ${\int }_{T}fd{\lambda }^3$, wobei $f(x,y,z)=xz$ und $T$ der Einheitszylinder $\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 1,-1\le x,y\le 1,0\le z\le 1\}$ ist.

Aufgabe

Auf der quadratischen Platte $P=[-1,1]\times [-1,1]$ sei eine elektrische Ladung gemäß $f(x,y)=y-x^2$ verteilt. Bestimme den Schwerpunkt der positiven Teilladung und den Schwerpunkt der negativen Teilladung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $G$ der Subgraph der Sinusfunktion zwischen $0$ und $\pi$. Berechne die Integrale

a) ${\int }_{G}xd{\lambda }^2$,

b) ${\int }_{G}yd{\lambda }^2$.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion $f(x,y)=x(\sin x)(\cos \left(xy\right))$ über dem Rechteck $Q=[0,3\pi ]\times [0,1]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mittels Integration den Schwerpunkt eines Dreiecks, das durch die drei Punkte $(0,0),(a,0)$ und $(b,c)$ (mit $a,c>0$) gegeben sei.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(u,v)⟼\frac{2uv}{(u^2+1)(v^2+v+1)}.$

Für welche Quadrate $Q=[a,a+1]\times [b,b+1]$ der Kantenlänge $1$ wird das Integral

${\int }_{Q}fd{\lambda }^2$

maximal? Welchen Wert besitzt es?

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral ${\int }_{B(P,r)}{x}^2-y^{3}d{\lambda }^2$ über der Kreisscheibe $B(P,r)$ in Abhängigkeit von $P=(a,b)\in {ℝ}^2$ und $r\in {ℝ}_{+}$.