Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 57

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.


Annulus.svg

Aufgabe

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

flächentreu ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf dem Quadrat . Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ?


Aufgabe

Beschreibe die Abbildung

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante davon. Ebenso für .


Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen und derart, dass die Abbildung

einen Diffeomorphismus von nach induziert.


Aufgabe *

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

gleich oder gleich ist.

Tipp: Was passiert mit dem Einheitswürfel?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass volumentreu, aber keine Isometrie ist.


Aufgabe

Es seien und offene Mengen im und es sei

ein volumentreuer -Diffeomorphismus. Es sei zusammenhängend. Zeige, dass entweder für alle oder aber für alle gilt.


Aufgabe

Bestimme durch Integration die - und die Koordinate des Schwerpunkts der oberen Einheitshalbkugel (siehe Beispiel 56.12).


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines Diffeomorphismus

auf offenen Mengen und einer kompakten Teilmenge an derart, dass für den Schwerpunkt von und den Schwerpunkt von nicht gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten und . Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für und für ?


Aufgabe (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

und interessieren uns für die Straße der Breite , deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe das komplexe Potenzieren

in Polarkoordinaten.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix zur Abbildung

in einem beliebigen Punkt mit der Hilfe von Polarkoordinaten.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine kompakte Teilmenge und eine Basis von mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen . Es sei

eine stetige Massenverteilung auf mit der Gesamtmasse . Zeige, dass
die -te Koordinate des

Schwerpunktes von bezüglich dieser Basis ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige durch ein Beispiel, dass unter den Polarkoordinaten der Schwerpunkt einer kompakten Teilmenge nicht in den Schwerpunkt des Bildes überführt werden muss.



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