Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/19

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass für eine stetige Funktion dieser Durchschnittswert (oder Mittelwert) von der Funktion auch angenommen wird. Wann verwenden wir diesen Mittelwertsatz, bzw. um was zu berechnen?

Antwort

Wir verwenden den Mittelwertsatz der Integralrechnung um den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung zu beweisen. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung stellt Integration und Differenziation in Bezug zueinander und ist daher einer der wichtigsten Sätze der Vorlesung. Durch seine zentrale Rolle im Beweis des Hauptsatzes hat der Mittelwertsatz der Integralrechnung seine Nützlichkeit deutlich gemacht.

Studentenfrage

Ist die konstante Funktion von zwei Stammfunktionen von ${}f$ gleich die Summe der Integrationskonstanten von diesen Stammfunktionen?

Antwort

Wir haben den Begriff Integrationskonstante in Bezug auf

${}\int _{}^{}f(t)\,dt=F+c\,,$

wobei man ${}c$ die Integrationskonstante nennt. Dies ergibt mathematisch Sinn wenn man eine Stammfunktion ${}F$ fixiert hat, da sich dann ja nach Lemma 19.6 die Integralfunktion und die Stammfunktion nur um eine Konstante unterscheiden. Wenn wir zwei Stammfunktionen ${}G,H$ von ${}f$ mit Bezug auf eine fixierte Stammfunktion ${}F$ ausdrücken wollen, ist außerdem ${}G=F+c$ und ${}H=F+d$, und dann wäre ${}G-H=c-d$, also die Differenz der Integrationskonstanten.

Das ist aber eine ein bisschen irreführende Sichtweise auf Integrationskonstanten. Im Allgemeinen dient die Schreibweise mit der Integrationskonstante eher dazu daran zu erinnern, dass wir zu einer Stammfunktion einen beliebigen Konstanten Term addieren können, bzw. dass der konstante Summand unbestimmt ist, da es ja keine beste Stammfunktion zu einer Funktion gibt.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 19

<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium | >> Zur Vorlesung (PDF) Zum Arbeitsblatt