Wir haben die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems aus
Beispiel 21.11 bestimmt als
-
wobei die Stufenform auf die beiden freien Variablen
und
geführt hat. Durch Zusammenfassen der jeweiligen Terme zu
und
haben wir die Menge in die Form
-
gebracht. Dabei ist
eine spezielle Lösung (wobei das nicht im Sinne von ungewöhnlich oder besonders zu lesen ist, sondern einfach nur heißt, dass wir diese Lösung herausgreifen). Alle anderen Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems ergeben sich indem wir zu dieser speziellen Lösung beliebige Vielfache von
und
dazuaddieren. Man kann das auch so interpretieren, dass die spezielle Lösung einen Aufpunkt definiert und durch die beiden anderen Terme die Lösungsebene aufgespannt wird.
Wenn wir die Differenz zweier Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems in das Gleichungssystem einsetzen erhalten wir anstelle des Störvektors den Nullvektor. Umgekehrt wenn wir eine Lösung des zugehörigen homogenenen Gleichungssystems zu einer Lösung des inhomogenenen Gleichungssystems addieren erhalten wir wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. Also sind die Lösungen des homogenen Gleichungssystems genau die Differenzen von Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems und diese lassen sich als Menge durch
-
ausdrücken. Nach Lemma
Lemma 22.14 ist diese Menge ein Untervektorraum von
(das lässt sich aber auch direkt anhand der Untervektorraumaxiome überprüfen). Wir nennen das auch den von
und
erzeugten Untervektorraum.
Die Bijektion ist die Abbildung
-
Dass diese Abbildung injektiv ist ergibt sich daraus, dass in den letzten beiden Koordinaten von
und
offensichtlich
und
erhalten werden und daher verschiedene
auch auf verschiedene Elemente der Lösungsmenge abgebildet werden. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass die Menge
praktisch direkt als Bild der Abbildung dargestellt wird.
