I'm not sure if I understand your question. The german translation for dot product is Skalarprodukt and it is only briefly mentioned in this lecture and only really introduced in the second semester course. Why the dot product is useful is a question better suited for that course.
It is important not to confuse the terms dot product (or Skalarprodukt) and scalar multiplication (or Skalarmultiplikation). The former is an important operation on two vectors and gives a scalar, while the latter is one of the two fundamental operations on a vector space which multiplies a scalar and a vector to get a multiple of the vector. For us in this semester only the scalar multiplication is important.
The scalar multiplication is really fundamental to vector spaces and without it we wouldn't have any structural relationship between the underlying field and the vector space. In that sense it is more a structural necessity for meaningful linear algebra than a tool for computations.
Ja, Eigenschaften 2 und 3 der Definition eines Untervektorraums sind die mathematischen Formulierungen dafür, dass Untervektorräume unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen sind.
In der Definition 22.13 wird der Untervektorraum eingeführt, welches in Beispiel 22.15 verdeutlicht wird. Dazu habe ich eine Frage, und zwar ist mir nicht klar geworden wie aus der Lösung der Untervektorraum entstanden ist und wieso 
in Bijektion zu 
steht.
Wir haben die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems aus
Beispiel 21.11 bestimmt als
-
wobei die Stufenform auf die beiden freien Variablen
und
geführt hat. Durch Zusammenfassen der jeweiligen Terme zu
und
haben wir die Menge in die Form
-
gebracht. Dabei ist
eine spezielle Lösung (wobei das nicht im Sinne von ungewöhnlich oder besonders zu lesen ist, sondern einfach nur heißt, dass wir diese Lösung herausgreifen). Alle anderen Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems ergeben sich indem wir zu dieser speziellen Lösung beliebige Vielfache von
und
dazuaddieren. Man kann das auch so interpretieren, dass die spezielle Lösung einen Aufpunkt definiert und durch die beiden anderen Terme die Lösungsebene aufgespannt wird.
Wenn wir die Differenz zweier Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems in das Gleichungssystem einsetzen erhalten wir anstelle des Störvektors den Nullvektor. Umgekehrt wenn wir eine Lösung des zugehörigen homogenenen Gleichungssystems zu einer Lösung des inhomogenenen Gleichungssystems addieren erhalten wir wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. Also sind die Lösungen des homogenen Gleichungssystems genau die Differenzen von Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems und diese lassen sich als Menge durch
-
ausdrücken. Nach Lemma
Lemma 22.14 ist diese Menge ein Untervektorraum von
(das lässt sich aber auch direkt anhand der Untervektorraumaxiome überprüfen). Wir nennen das auch den von
und
erzeugten Untervektorraum.
Die Bijektion ist die Abbildung
-
Dass diese Abbildung injektiv ist ergibt sich daraus, dass in den letzten beiden Koordinaten von
und
offensichtlich
und
erhalten werden und daher verschiedene
auch auf verschiedene Elemente der Lösungsmenge abgebildet werden. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass die Menge
praktisch direkt als Bild der Abbildung dargestellt wird.
