Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesung 34/latex
\setcounter{section}{34}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller27.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Vorli mag alle Menschen und achtet nicht auf Äußerlichkeiten. Ihr besonderes Talent ist aber, ...} }
\bildlizenz { Waeller27.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Eine wichtige Zielsetzung dieses Kurses ist es, die Analysis und insbesondere die Konzepte Approximation, Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit auf höherdimensionale Situationen zu verallgemeinern. Dazu brauchen wir zunächst einen sinnvollen Abstandsbegriff.
\zwischenueberschrift{Euklidische Vektorräume}
Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des \stichwort {Skalarprodukts} {} präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum\zusatzfussnote {Auch für komplexe Vektorräume gibt es Skalarprodukte, was wir aber nicht behandeln werden} {.} {} vorliegen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.}
Ein \definitionswort {Skalarprodukt}{} auf $V$ ist eine Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times V } { \R
} { (v,w)} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
mit folgenden Eigenschaften:
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \lambda_1x_1+\lambda_2x_2 , y \right\rangle
}
{ =} { \lambda_1 \left\langle x_1 , y \right\rangle + \lambda_2 \left\langle x_2 , y \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda_1,\lambda_2
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1,x_2
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ebenso in der zweiten Komponente.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen \stichwort {Bilinearität} {} \zusatzklammer {das ist nur eine andere Bezeichnung für \definitionsverweis {multilinear}{}{,} wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist} {} {,} \stichwort {Symmetrie} {} und \stichwort {positive Definitheit} {.}
\inputbeispiel{}
{
Auf dem $\R^n$ ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^n \times \R^n } { \R
} {(v,w)=({ \left( v_1 , \ldots , v_n \right) },{ \left( w_1 , \ldots , w_n \right) })} { \sum_{i=1}^n v_iw_i
} {,}
ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{,}
das man das
\definitionswortenp{Standard\-skalarprodukt}{} nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.
}
Beispielsweise ist im $\R^3$ mit dem Standardskalarprodukt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\4\\ 6 \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} {3\cdot(-1) - 5 \cdot 4 +2 \cdot 6
}
{ =} { -11
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {reeller}{}{,} \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} der mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} versehen ist, heißt \definitionswort {euklidischer Vektorraum}{.}
}
Zu einem euklidischen Vektorraum $V$ ist jeder Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf $U$ einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.
\zwischenueberschrift{Norm und Abstand}
Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Dann nennt man zu einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die reelle Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ =} {\sqrt{ \left\langle v , v \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Norm}{} von $v$.
}
Die Norm ist der Abstand
\zusatzklammer {siehe weiter unten} {} {}
zum Nullpunkt. Im $\R^3$ mit dem Standardskalarprodukt ist beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \begin{pmatrix} 3 \\2\\ -4 \end{pmatrix} } \Vert
}
{ =} { \sqrt{ 9+4+16 }
}
{ =} { \sqrt{29}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dass dies der \anfuehrung{richtige}{} Abstand zum Nullpunkt ist, beruht auf dem elementargeometrischen Satz von Pythagoras.
\inputfaktbeweis
{Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt die \stichwort {Cauchy-Schwarzsche Abschätzung} {,} nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {w} \Vert
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit hat man die Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ \leq} { \left\langle v - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } w , v - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } \left\langle w , v \right\rangle - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } \left\langle v , w \right\rangle + \frac{ \left\langle v , w \right\rangle \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^4 } \left\langle w , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle^2 }{ \Vert {w} \Vert^2 }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Multiplikation mit
\mathl{\Vert {w} \Vert^2}{} und Wurzelziehen ergibt das Resultat.
\inputbemerkung
{}
{
Für von $0$ verschiedene Vektoren
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
in einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$ folgt aus der
der Ungleichung von Cauchy-Schwarz,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1
}
{ \leq} { \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert }
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion \stichwort {Kosinus} {}
\zusatzklammer {als bijektive Abbildung
\maabb {} {[0, \pi]} { [-1,1]
} {}} {} {}
bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (v,w)
}
{ \defeq} { \arccos { \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {0} {und} {\pi} {.}
Die obige Gleichung kann man auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert \cdot \cos \left( \angle (v,w) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.
}
\inputfaktbeweis
{Skalarprodukt/R/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann gelten für die zugehörige
\definitionsverweis {Norm}{}{}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Vert {v} \Vert
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des
\definitionsverweis {Skalarprodukts}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Multiplikativität folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle \lambda v , \lambda v \right\rangle
}
{ =} { \lambda \left\langle v , \lambda v \right\rangle
}
{ =} {\lambda^2 \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} {\lambda^2 \Vert {v} \Vert^2
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle v+w , v+w \right\rangle
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 +2 \left\langle v , w \right\rangle
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 +2 \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ } {}
}
{}{}{}
Aufgrund von
Satz 34.5
ist dies
\mathl{\leq { \left( \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert \right) }^2}{.} Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.}
{}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Polarisationsformel} {.}
{Skalarprodukt/R/Polarisationsformel mit Norm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
$\Vert {-} \Vert$.}
\faktfolgerung {Dann gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 34.3. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zu zwei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( v, w \right) }
}
{ \defeq} {\Vert {v-w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Abstand}{} zwischen
\mathkor {} {v} {und} {w} {.}
}
{Skalarprodukt/R/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann besitzt der zugehörige
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
die folgenden Eigenschaften
\zusatzklammer {dabei sind
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{u,v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d( v , w )
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d( v , w )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d( v , w )
}
{ = }{ d( w , v )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d( u , w )
}
{ \leq} { d( u , v ) + d( v , w )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 34.7. }
Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein \stichwort {metrischer Raum} {,} womit wir uns in den nächsten Vorlesungen beschäftigen werden.
\zwischenueberschrift{Orthogonalität}
Mit dem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen, ausdrücken.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Man nennt zwei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionswort {orthogonal}{} zueinander
\zusatzklammer {oder \definitionswort {senkrecht}{}} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \left\langle v , u \right\rangle=0 \text{ für alle } u \in U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {orthogonale Komplement}{} von $U$.
}
\inputbeispiel{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum
\mathl{\R e_i}{} zum Standardvektor $e_i$ besteht das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
aus allen Vektoren
\mathl{\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_{i-1}\\0\\ x_{i+1}\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}}{,} deren $i$-ter Eintrag $0$ ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum
\mathl{\R v}{} zu einem Vektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\ \vdots\\a_n \end{pmatrix}
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der
\definitionsverweis {linearen Gleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x_1 + \cdots + a_nx_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bestimmt. Der Orthogonalraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { (\R v)^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots \\ x_n \end{pmatrix} \mid a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt die Dimension $n-1$, es handelt sich also um eine sogenannte
\definitionsverweis {Hyperebene}{}{.}
Man nennt dann $v$ einen \stichwort {Normalenvektor} {} für die Hyperebene $U$.
Zu einem Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der durch eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\zusatzklammer {oder ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}} {} {}
\mathbed {v_i = \begin{pmatrix} a_{i1} \\\vdots\\ a_{in} \end{pmatrix}} {}
{i=1 , \ldots , k} {}
{} {} {} {,}
gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{i j } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die aus den $v_i$ gebildete Matrix ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ heißt \definitionswort {Orthonormalbasis}{,} wenn
\mathdisp {\left\langle v_i , v_i \right\rangle= 1 \text{ für } \text{alle } i \text{ und } \left\langle v_i , v_j \right\rangle= 0 \text{ für } i \neq j} { }
gilt.
}
Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm $1$ und sie stehen senkrecht aufeinander. Im $\R^n$ ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Das folgende \stichwort {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren} {} erlaubt es, ausgehend von einer Basis eine Orthonormalbasis zu konstruieren.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und es sei
\mathl{v_1 ,v_2 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{u_1,u_2 , \ldots , u_n}{} von $V$ mit\zusatzfussnote {Hier bezeichnet
\mathl{\langle - \rangle}{} den von den Vektoren
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{,}
nicht das Skalarprodukt} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_1,v_2 , \ldots , v_i \rangle
}
{ =} { \langle u_1,u_2 , \ldots , u_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
aufspannen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss man lediglich $v_1$ normieren, also durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_1
}
{ =} { { \frac{ v_1 }{ \Vert {v_1} \Vert } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren
\mathl{u_1 , \ldots , u_i}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \langle u_1 , \ldots , u_i \rangle
}
{ = }{ \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bereits konstruiert. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w_{i+1}
}
{ =} {v_{i+1} - \left\langle v_{i+1} , u_1 \right\rangle u_1 - \cdots - \left\langle v_{i+1} , u_i \right\rangle u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser Vektor steht senkrecht auf allen
\mathl{u_1 , \ldots , u_i}{} und offenbar ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \langle u_1 , \ldots , u_i ,w_{i+1} \rangle
}
{ = }{ \langle v_1 , \ldots , v_i ,v_{i+1} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch Normieren von
\mathl{w_{i+1}}{} erhält man
\mathl{u_{i+1}}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {2x+3y-z
} {.}
Als Unterraum des $\R^3$ trägt $V$ ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von $V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren
\mathdisp {v_1= \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 2 \end{pmatrix} \text{ und } v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix}} { . }
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v_1} \Vert
}
{ = }{ \sqrt{5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ =} { { \frac{ v_1 }{ \Vert {v_1} \Vert } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \\0\\ { \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem\zusatzfussnote {Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe
Beispiel 34.16} {.} {}
Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren
setzen wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ w_2
}
{ =} {v_2 - \left\langle v_2 , u_1 \right\rangle u_1
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix} - \left\langle \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \\0\\ { \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } \end{pmatrix} \right\rangle \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \\0\\ { \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \\0\\ { \frac{ 2 }{ \sqrt{5} } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} { \frac{ 6 }{ 5 } } \\0\\ { \frac{ 12 }{ 5 } } \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ 5 } } \\1\\ { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {w_2} \Vert
}
{ =} { \Vert {\begin{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ 5 } } \\1\\ { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix} } \Vert
}
{ =} { \sqrt{ { \frac{ 36 }{ 25 } } + 1 + { \frac{ 9 }{ 25 } } }
}
{ =} { \sqrt{ { \frac{ 70 }{ 25 } } }
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{14} }{ \sqrt{5} } }
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_2
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{14 } }} \begin{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ 5 } } \\1\\ { \frac{ 3 }{ 5 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 6 }{ \sqrt{70} } } \\{ \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{14} } }\\ { \frac{ 3 }{ \sqrt{70} } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der zweite Vektor der Orthonormalbasis.
}
\zwischenueberschrift{Der Gradient}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {V } {K } {} heißt eine \definitionswort {Linearform}{} auf $V$.
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und
\maabbdisp {f} {V} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ =} { \left\langle w , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Wenn
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(u_i)
}
{ = }{ a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist dieser Vektor gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{\sum_{i = 1}^n a_iu_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Es sei also eine Orthonormalbasis
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} gegeben und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^na_iu_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist für jedes $j$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle w , u_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \sum_{i=1}^na_iu_i , u_j \right\rangle
}
{ =} { a_j
}
{ =} { f(u_j)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
D.h. die beiden linearen Abbildungen
\mathl{v \mapsto \left\langle w , v \right\rangle}{} und $f$ stimmen auf einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
überein, sind also nach
Satz 24.7
identisch. Für jeden anderen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w'
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n b_iu_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor
\mathkor {} {u_j} {von} {f(u_j)} {}
verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor.
Dieser Vektor, mit dem man die Linearform mit Hilfe des Skalarproduktes beschreiben kann, heißt \stichwort {Gradient} {} zur Linearform.