Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesung 39/latex

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\setcounter{section}{ 39 }






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Göttingen Minipig.eps} }
\end{center}
\bildtext {... und ein Vorlesungsminischwein diskutiert.} }

\bildlizenz { Göttingen Minipig.jpg } {} {Minipigs} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}






\zwischenueberschrift{Integration von stetigen Wegen}

Für eine stetige Kurve \maabbdisp {g} {I} {V } {} in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \stichwort {Integral} {}
\mathl{\int_a^b g(s) ds}{} komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen
\mathl{g_1 , \ldots , g_n}{} aus. Dann setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_a^b g(s) ds }
{ \defeq} { { \left( \int_a^b g_1(s) ds \right) } v_1 + \cdots + { \left( \int_a^b g_n(s) ds \right) } v_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das Ergebnis ist ein Vektor in $V$, der unabhängig von der gewählten Basis ist, siehe Aufgabe 39.1. Wenn man die untere Intervallgrenze $a$ fixiert und die obere Intervallgrenze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so bekommt man eine \stichwort {Integralkurve} {} \maabbeledisp {} {I} {V } {t} { \int_{ a }^{ t } g ( s) \, d s } {.} Diese Integralkurve \zusatzklammer {oder \stichwort {Stammkurve} {}} {} {} kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Es gilt die folgende Integralabschätzung.





\inputfaktbeweis
{Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {g} {[a,b]} {V } {} eine}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t } \Vert }
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g(t)} \Vert \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so ist nichts zu zeigen. Sei also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t }
{ =} { v }
{ \neq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1 }
{ \defeq }{ { \frac{ v }{ \Vert {v} \Vert } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Das ergänzen wir zu einer \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{u_1,u_2 , \ldots , u_n}{} von $V$. Es seien
\mathl{g_1,g_2 , \ldots , g_n}{} die Koordinatenfunktionen von $g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ v }
{ =} { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t }
{ =} { { \left( \int_{ a }^{ b } g_1 ( t) \, d t \right) } u_1 + \cdots + { \left( \int_{ a }^{ b } g_n ( t) \, d t \right) } u_n }
{ =} { { \left( \int_{ a }^{ b } g_1 ( t) \, d t \right) } u_1 }
{ } { }
} {} {}{,} da ja $v$ ein Vielfaches von $u_1$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich $0$ sind. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t } \Vert }
{ =} { \betrag { \int_{ a }^{ b } g_1 ( t) \, d t } }
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } \betrag { g_1(t) } \, d t }
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } {\sqrt{ (g_1(t))^2 + \cdots + (g_n(t))^2 } } \, d t }
{ =} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g_1(t) u_1 + \cdots + g_n(t) u_n} \Vert \, d t }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g(t)} \Vert \, d t }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}







\inputbemerkung
{}
{

Die Abschätzung aus Satz 39.1 ist im Allgemeinen recht grob. Wenn beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ = }{f' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Ableitung einer \definitionsverweis {stetig differenzierbaren Kurve}{}{} \maabbdisp {f} {[a,b]} {V } {} ist, so ist die rechte Seite nach Satz 38.6 gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } \Vert {g(t)} \Vert \, d t }
{ =} { \int_{ a }^{ b } \Vert {f'(t)} \Vert \, d t }
{ =} { L_a^b(f) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also die \definitionsverweis {Kurvenlänge}{}{} von $f$. Die linke Seite ist hingegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t } \Vert }
{ =} { \Vert {f(b)-f(a)} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Abschätzung ist also in diesem Fall trivial, da ja die Kurvenlänge nach Definition 38.5 das Supremum der Längen der interpolierenden Streckenzüge ist, und
\mathl{\Vert {f(b)-f(a)} \Vert}{} ist die Länge der direkten Strecke.

}






\inputbemerkung
{ }
{

Aus Satz 39.1 kann man Satz 38.1 für eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {f} {I} {V } {} gewinnen. Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ = }{f' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(b)-f(a)} \Vert }
{ =} { \Vert { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t } \Vert }
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g(t)} \Vert \, d t }
{ =} {(b-a) \Vert {g(c)} \Vert }
{ =} {(b-a) \Vert {f'(c)} \Vert }
} {}{}{} für ein gewisses
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dessen Existenz aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung \zusatzklammer {in einer Variablen} {} {} folgt.

}






\zwischenueberschrift{Vektorfelder}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{.} Dann nennt man eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {I \times U} {V } {(t,x)} {f(t,x) } {,} ein \definitionswort {Vektorfeld}{} \zusatzklammer {auf $U$} {} {.}

}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {VectorField.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { VectorField.svg } {} {Jim.belk} {Commons} {PD} {}

Die übliche physikalische Interpretation ist hierbei, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Zeit repräsentiert,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den Ort und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t,x) }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen Vektor, der zum Zeitpunkt $t$ an den Ortspunkt $v$ angeheftet ist und dort eine Richtung vorgibt. Manchmal spricht man auch von einem \stichwort {Richtungsfeld} {.} Im physikalischen Kontext werden die Vektoren als Geschwindigkeitsvektoren, als Kraftvektoren oder als Beschleunigungsvektoren interpretiert.

Wenn das Vektorfeld nicht von $t$ abhängt, so spricht man von einem \stichwort {zeitunabhängigen} {} oder \stichwort {autonomen Vektorfeld} {.}

Wir werden im Rahmen der Differentialgleichungen auf zeitabhängige Vektorfelder zurückkommen. Zuerst untersuchen wir zeitunabhängige Vektorfelder und Wegintegrale.






\zwischenueberschrift{Wegintegrale}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,} \maabbdisp {F} {U} {\R^n } {} ein \definitionsverweis {stetiges Vektorfeld}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.} Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma F }
{ \defeq} { \int_a^b \left\langle F(\gamma(t)) , \gamma'(t) \right\rangle dt }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das \definitionswort {Wegintegral}{} zum Vektorfeld $F$ längs des Weges $\gamma$.

}

Statt Wegintegral sagt man auch \stichwort {Kurvenintegral} {.} Die stetige Differenzierbarkeit sichert dabei, dass die Ableitung $\gamma'$ und damit auch der Integrand
\mathl{t \mapsto \left\langle F(\gamma(t)) , \gamma'(t) \right\rangle}{} stetig sind, sodass das Integral existiert.

Wenn der Weg $\gamma$ nur \zusatzklammer {stetig und} {} {} stückweise stetig differenzierbar ist, wenn es also eine Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{a_0 }
{ < }{ a_1 }
{ < }{ \ldots }
{ < }{ a_{n-1} }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ <}{a_n } {}{b }
{}{}
{}{}
}{}{} derart gibt, dass die \definitionsverweis {Einschränkungen}{}{\zusatzfussnote {Hier haben die $\gamma_i$ eine andere Bedeutung als in der folgenden Bemerkung, wo sie die Komponentenfunktionen bezeichnen} {.} {}}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_i }
{ \defeq }{\gamma_{[a_{i-1}, a_{i}]} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stetig differenzierbar sind, so setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma F }
{ \defeq} { \int_{\gamma_1} F + \int_{\gamma_2} F + \cdots + \int_{\gamma_n} F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}






\inputbemerkung
{}
{

Das Vektorfeld \maabbdisp {F} {U} {\R^n } {} sei durch die Komponentenfunktionen
\mathdisp {F_1(x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , F_n(x_1 , \ldots , x_n)} { }
und die Kurve durch die Komponentenfunktionen
\mathdisp {(\gamma_1(t) , \ldots , \gamma_n(t))} { }
mit der \definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathdisp {(\gamma'_1(t) , \ldots , \gamma_n'(t))} { }
gegeben. Dann wird das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} durch
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_\gamma F }
{ =} {\int_a^b F_1(\gamma_1(t) , \ldots , \gamma_n(t) ) \cdot \gamma_1'(t) + \cdots + F_n(\gamma_1(t) , \ldots , \gamma_n(t) ) \cdot \gamma_n'(t) dt }
{ =} { \sum_{i = 1}^n \int_a^b F_i(\gamma_1(t) , \ldots , \gamma_n(t) ) \cdot \gamma_i'(t) dt }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} berechnet.

}




\inputbeispiel{}
{

Zu einem konstanten \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^n} { \R^n } {x} {v } {,} mit einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einem \definitionsverweis {affin-linearen Weg}{}{} \maabbeledisp {\gamma} {[a,b]} { \R^n } {t} { w+ tu } {,} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_\gamma F }
{ =} { \int_a^b \left\langle v , u \right\rangle dt }
{ =} { (b-a) \left\langle v , u \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x^2-y^3,xy) } {} und den Weg \maabbeledisp {\gamma} {[0,1]} {\R^2 } {t} {(t^2,t^3-5t) } {.} Die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $\gamma$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\gamma'(t) }
{ =} {(2t , 3t^2-5) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_\gamma F }
{ =} { \int_{0}^1 \left\langle F(\gamma(t)) , \gamma'(t) \right\rangle dt }
{ =} { \int_{0}^1 ( \gamma_1(t)^2 - \gamma_2(t)^3 ) \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_1(t) \gamma_2(t) \cdot \gamma_2'(t) dt }
{ =} { \int_{0}^1 ( t^4 - (t^3-5t)^3 ) \cdot 2t + t^2 (t^3-5t) \cdot (3t^2-5) dt }
{ =} { \int_{0}^1 ( t^4-t^9 + 15 t^7 - 75 t^5 + 125 t^3 ) 2t + t^2 ( 3t^5 -5t^3-15t^3+25t ) dt }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_{0}^1 2t^5-2t^{10} + 30 t^8 - 150 t^6 + 250 t^4 +3t^7 -20t^5 +25t^3 dt }
{ =} { \int_{0}^1 -2t^{10} + 30 t^8 +3t^7 - 150 t^6 - 18 t^5 + 250 t^4 +25t^3 dt }
{ =} { { \left( - { \frac{ 2 }{ 11 } } t^{11} + { \frac{ 10 }{ 3 } } t^9 + { \frac{ 3 }{ 8 } } t^8 - { \frac{ 150 }{ 7 } } t^7 -3 t^6 + 50 t^5 + { \frac{ 25 }{ 4 } } t^4 \right) } | _{ 0 } ^{ 1 } }
{ =} { 47 + { \frac{ -336 +6160 + 693 - 39600 + 11550 }{ 1848 } } }
}{}{.}


}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(-3x,5y) } {.} Für einen \definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{} \maabbeledisp {\gamma} {[a,b]} {\R^2 } {t} {\gamma(t) } {,} ist das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zu diesem Vektorfeld gleich
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_\gamma F }
{ =} { \int_{a}^b \left\langle F(\gamma(t)) , \gamma'(t) \right\rangle dt }
{ =} {\int_{a}^b -3 \gamma_1(t) \cdot \gamma_1'(t) + 5 \gamma_2(t) \cdot \gamma_2'(t) dt }
{ =} { { \left( - { \frac{ 3 }{ 2 } } ( \gamma_1(t) )^2 + { \frac{ 5 }{ 2 } } ( \gamma_2(t) )^2 \right) } | _{ a } ^{ b } }
{ =} { - { \frac{ 3 }{ 2 } } ( \gamma_1(b) )^2 + { \frac{ 5 }{ 2 } } ( \gamma_2(b) )^2 + { \frac{ 3 }{ 2 } } ( \gamma_1(a) )^2 - { \frac{ 5 }{ 2 } } ( \gamma_2(a) )^2 }
} {}{}{.} Insbesondere hängt dieser Wert nur von \mathkor {} {\gamma(a)} {und} {\gamma(b)} {} ab, also dem Anfangspunkt und dem Endpunkt der Bewegung, nicht aber vom Verlauf des Weges.


}

Das folgende Beispiel zeigt, dass für einen \stichwort {geschlossenen Weg} {} $\gamma$, wo also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(a) }
{ = }{ \gamma(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, das Wegintegral nicht $0$ sein muss. Wir werden allerdings später sehen, dass \stichwort {Gradientenfelder} {} \zusatzklammer {\stichwort {Potentialfelder} {}} {} {} die Eigenschaft besitzen, dass die Wegintegrale nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängen.


\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(-y,x) } {} und den Weg \maabbeledisp {\gamma} {[0,2 \pi ]} {\R^2 } {t} {( \cos t , \sin t) } {.} Die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $\gamma$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\gamma'(t) }
{ =} { (- \sin t , \cos t ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_\gamma F }
{ =} { \int_{0}^{2 \pi} \left\langle F(\gamma(t)) , \gamma'(t) \right\rangle dt }
{ =} { \int_{0}^{2 \pi} \left\langle \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \right\rangle dt }
{ =} { \int_{0}^{2 \pi} \sin^{ 2 } t + \cos^{ 2 } t dt }
{ =} { \int_{0}^{2 \pi} 1 dt }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2 \pi }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{.}


}






\inputbemerkung
{}
{

Bei der üblichen pysikalischen Interpretation eines \definitionsverweis {Wegintegrals}{}{} stellt man sich das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} $F$ als ein Kraftfeld und den Weg als die Bewegung eines Massepunktes vor. Dabei ist die Bewegung erzwungen, d.h. es handelt sich nicht um die natürliche Bewegung, die das Kraftfeld bewirkt , sondern um eine geführte Bewegung. Eine solche Bewegung erfordert einen Arbeitsaufwand, wenn sie gegen das Kraftfeld durchgeführt wird, und setzt Energie frei, wenn sie mit der Kraft geführt wird. Entscheidend ist dabei der Winkel zwischen der momentanten Bewegungsrichtung zu einem Zeitpunkt $t$ und dem Kraftfeld zum Ortspunkt
\mathl{\gamma(t)}{.} Daher taucht in der Definition des Wegintegrals das Skalarprodukt zwischen Vektorfeld und Bewegungsrichtung auf. Das gesamte Wegintegral ist die Arbeit, die man längs des Weges in dem Kraftfeld verrichtet. Das Skalarprodukt
\mathl{\left\langle F( \gamma(t)) , \gamma'(t) \right\rangle}{} bedeutet zu einem fixierten Zeitpunkt $t$ die momentane Leistung.

}





\inputfaktbeweis
{Wegintegral/Stetiges Kraftfeld/Umparametrisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,} \maabbdisp {F} {U} {\R^n } {} ein \definitionsverweis {stetiges Vektorfeld}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{.} Es sei \maabbdisp {g} {[c,d]} {[a,b] } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {monoton wachsende}{}{,} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma} }
{ = }{ \gamma \circ g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma F }
{ =} { \int_{\tilde{\gamma} } F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es seien
\mathl{F_1 , \ldots , F_n}{} die Komponentenfunktionen von $F$ und
\mathl{\gamma_1 , \ldots , \gamma_n}{} die Komponentenfunktionen von $\gamma$. Dann gilt mit der Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t }
{ =} { g(s) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter Verwendung von Korollar 20.8
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_\gamma F }
{ =} { \sum_{i = 1}^n \int_a^b F_i { \left( \gamma_1(t) , \ldots , \gamma_n(t) \right) } \cdot \gamma_i'(t)dt }
{ =} { \sum_{i = 1}^n \int_c^d F_i { \left( \gamma_1(g(s) ) , \ldots , \gamma_n( g(s) ) \right) } \cdot \gamma_i'(g(s)) \cdot g'(s) ds }
{ =} { \sum_{i = 1}^n \int_c^d F_i { \left( \tilde{\gamma}_1(s) , \ldots , \tilde{\gamma}_n(s) \right) } \cdot \tilde{\gamma}_i'(s) ds }
{ =} { \int_{\tilde{\gamma} } F }
} {}{}{.}

}

Die Funktion \maabb {g} {[c,d]} {[a,b] } {} nennt man in diesem Zusammenhang eine \zusatzklammer {orientierungserhaltende} {} {} \stichwort {Umparametrisierung} {.} Der Satz besagt, dass das Wegintegral nur von dem durchlaufenen Weg \zusatzklammer {einschließlich der Richtung} {} {} abhängt, nicht aber von der Geschwindigkeit, mit der das passiert. Wenn die Funktion $g$ monoton fallend ist, so vertauschen sich bei der Substitution die Integrationsgrenzen und man erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_\gamma F }
{ =} { - \int_{ \tilde{\gamma} } F }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Beziehung gilt insbesondere, wenn der Weg $\gamma$ in umgekehrter Richtung durchlaufen wird.



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