Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesung 39

Integration von stetigen Wegen

Für eine stetige Kurve

g\colon I\longrightarrow V

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für ${}a,b\in I$ das Integral ${}\int _{a}^{b}g(s)ds$ komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen ${}g_{1},\ldots ,g_{n}$ aus. Dann setzt man

{}\int _{a}^{b}g(s)ds:={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(s)ds\right)}v_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(s)ds\right)}v_{n}\,.

Das Ergebnis ist ein Vektor in ${}V$ , der unabhängig von der gewählten Basis ist, siehe Aufgabe 39.1. Wenn man die untere Intervallgrenze ${}a$ fixiert und die obere Intervallgrenze ${}b=t$ , so bekommt man eine Integralkurve

I\longrightarrow V,\,t\longmapsto \int _{a}^{t}g(s)\,ds.

Diese Integralkurve (oder Stammkurve) kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Es gilt die folgende Integralabschätzung.

Satz

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

g\colon [a,b]\longrightarrow V

eine stetige Abbildung.

Dann gilt

${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$

Beweis

Wenn ${}\int _{a}^{b}g(t)\,dt=0$ ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also

{}\int _{a}^{b}g(t)\,dt=v\neq 0\,.

Es sei ${}u_{1}:={\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$ . Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ . Es seien ${}g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}$ die Koordinatenfunktionen von ${}g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung

{}{\begin{aligned}v&=\int _{a}^{b}g(t)\,dt\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(t)\,dt\right)}u_{n}\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1},\end{aligned}}

da ja ${}v$ ein Vielfaches von ${}u_{1}$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich ${}0$ sind. Daher ist

{}{\begin{aligned}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert &=\vert {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {g_{1}(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\sqrt {(g_{1}(t))^{2}+\cdots +(g_{n}(t))^{2}}}\,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g_{1}(t)u_{1}+\cdots +g_{n}(t)u_{n}}\Vert \,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt.\end{aligned}}

\Box

Bemerkung

Die Abschätzung aus Satz 39.1 ist im Allgemeinen recht grob. Wenn beispielsweise ${}g=f'$ die Ableitung einer stetig differenzierbaren Kurve

f\colon [a,b]\longrightarrow V

ist, so ist die rechte Seite nach Satz 38.6 gleich

{}\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt=L_{a}^{b}(f)\,,

also die Kurvenlänge von ${}f$ . Die linke Seite ist hingegen

{}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert =\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \,.

Die Abschätzung ist also in diesem Fall trivial, da ja die Kurvenlänge nach Definition 38.5 das Supremum der Längen der interpolierenden Streckenzüge ist, und ${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert$ ist die Länge der direkten Strecke.

Bemerkung

Aus Satz 39.1 kann man Satz 38.1 für eine stetig differenzierbare Kurve

f\colon I\longrightarrow V

gewinnen. Mit ${}g=f'$ ist nämlich

{}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert =\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt=(b-a)\Vert {g(c)}\Vert =(b-a)\Vert {f'(c)}\Vert \,

für ein gewisses ${}c\in [a,b]$ , dessen Existenz aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (in einer Variablen) folgt.

Vektorfelder

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und ${}U\subseteq V$ eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung

f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),

ein Vektorfeld (auf ${}U$ ).

Die übliche physikalische Interpretation ist hierbei, dass ${}t\in I$ die Zeit repräsentiert, ${}x\in U$ den Ort und ${}f(t,x)\in V$ einen Vektor, der zum Zeitpunkt ${}t$ an den Ortspunkt ${}v$ angeheftet ist und dort eine Richtung vorgibt. Manchmal spricht man auch von einem Richtungsfeld. Im physikalischen Kontext werden die Vektoren als Geschwindigkeitsvektoren, als Kraftvektoren oder als Beschleunigungsvektoren interpretiert.

Wenn das Vektorfeld nicht von ${}t$ abhängt, so spricht man von einem zeitunabhängigen oder autonomen Vektorfeld.

Wir werden im Rahmen der Differentialgleichungen auf zeitabhängige Vektorfelder zurückkommen. Zuerst untersuchen wir zeitunabhängige Vektorfelder und Wegintegrale.

Wegintegrale

Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

ein stetiges Vektorfeld und

\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

{}\int _{\gamma }F:=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\,

das Wegintegral zum Vektorfeld ${}F$ längs des Weges ${}\gamma$ .

Statt Wegintegral sagt man auch Kurvenintegral. Die stetige Differenzierbarkeit sichert dabei, dass die Ableitung ${}\gamma '$ und damit auch der Integrand ${}t\mapsto \left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle$ stetig sind, sodass das Integral existiert.

Wenn der Weg ${}\gamma$ nur (stetig und) stückweise stetig differenzierbar ist, wenn es also eine Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\ldots <a_{n-1}<a_{n}=b$ derart gibt, dass die Einschränkungen^[1] ${}\gamma _{i}:=\gamma _{[a_{i-1},a_{i}]}$ stetig differenzierbar sind, so setzt man

{}\int _{\gamma }F:=\int _{\gamma _{1}}F+\int _{\gamma _{2}}F+\cdots +\int _{\gamma _{n}}F\,.

Bemerkung

Das Vektorfeld

F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

sei durch die Komponentenfunktionen

F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})

und die Kurve durch die Komponentenfunktionen

(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))

mit der Ableitung

(\gamma '_{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}'(t))

gegeben. Dann wird das Wegintegral durch

{}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}F_{1}(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))\cdot \gamma _{1}'(t)+\cdots +F_{n}(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))\cdot \gamma _{n}'(t)dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}F_{i}(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\end{aligned}}

berechnet.

Beispiel

Zu einem konstanten Vektorfeld

F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x\longmapsto v,

mit einem Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ und einem affin-linearen Weg

\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto w+tu,

ist

{}\int _{\gamma }F=\int _{a}^{b}\left\langle v,u\right\rangle dt=(b-a)\left\langle v,u\right\rangle \,.

Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{3},xy)

und den Weg

\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}-5t).

Die Ableitung von ${}\gamma$ ist

{}\gamma '(t)=(2t,3t^{2}-5)\,.

Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich

{}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{1}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(\gamma _{1}(t)^{2}-\gamma _{2}(t)^{3}\right)}\cdot \gamma _{1}'(t)+\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)\cdot \gamma _{2}'(t)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{4}-(t^{3}-5t)^{3}\right)}\cdot 2t+t^{2}(t^{3}-5t)\cdot (3t^{2}-5)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{4}-t^{9}+15t^{7}-75t^{5}+125t^{3}\right)}2t+t^{2}{\left(3t^{5}-5t^{3}-15t^{3}+25t\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}2t^{5}-2t^{10}+30t^{8}-150t^{6}+250t^{4}+3t^{7}-20t^{5}+25t^{3}dt\\&=\int _{0}^{1}-2t^{10}+30t^{8}+3t^{7}-150t^{6}-18t^{5}+250t^{4}+25t^{3}dt\\&={\left(-{\frac {2}{11}}t^{11}+{\frac {10}{3}}t^{9}+{\frac {3}{8}}t^{8}-{\frac {150}{7}}t^{7}-3t^{6}+50t^{5}+{\frac {25}{4}}t^{4}\right)}|_{0}^{1}\\&=47+{\frac {-336+6160+693-39600+11550}{1848}}\\&=47-{\frac {21533}{1848}}\\&={\frac {65323}{1848}}.\end{aligned}}

Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (-3x,5y).

Für einen stetig differenzierbaren Weg

\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),

ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld gleich

{}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{a}^{b}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}-3\gamma _{1}(t)\cdot \gamma _{1}'(t)+5\gamma _{2}(t)\cdot \gamma _{2}'(t)dt\\&={\left(-{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(t))^{2}+{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(t))^{2}\right)}|_{a}^{b}\\&=-{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(b))^{2}+{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(b))^{2}+{\frac {3}{2}}(\gamma _{1}(a))^{2}-{\frac {5}{2}}(\gamma _{2}(a))^{2}.\end{aligned}}

Insbesondere hängt dieser Wert nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ ab, also dem Anfangspunkt und dem Endpunkt der Bewegung, nicht aber vom Verlauf des Weges.

Das folgende Beispiel zeigt, dass für einen geschlossenen Weg ${}\gamma$ , wo also ${}\gamma (a)=\gamma (b)$ ist, das Wegintegral nicht ${}0$ sein muss. Wir werden allerdings später sehen, dass Gradientenfelder (Potentialfelder) die Eigenschaft besitzen, dass die Wegintegrale nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängen.

Beispiel

Wir betrachten das Vektorfeld

F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (-y,x)

und den Weg

\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t).

Die Ableitung von ${}\gamma$ ist

{}\gamma '(t)=(-\sin t,\cos t)\,.

Daher ist das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs dieser Kurve gleich

{}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}t+\cos ^{2}tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi .\end{aligned}}

Bemerkung

Bei der üblichen pysikalischen Interpretation eines Wegintegrals stellt man sich das Vektorfeld ${}F$ als ein Kraftfeld und den Weg als die Bewegung eines Massepunktes vor. Dabei ist die Bewegung erzwungen, d.h. es handelt sich nicht um die natürliche Bewegung, die das Kraftfeld bewirkt , sondern um eine geführte Bewegung. Eine solche Bewegung erfordert einen Arbeitsaufwand, wenn sie gegen das Kraftfeld durchgeführt wird, und setzt Energie frei, wenn sie mit der Kraft geführt wird. Entscheidend ist dabei der Winkel zwischen der momentanten Bewegungsrichtung zu einem Zeitpunkt ${}t$ und dem Kraftfeld zum Ortspunkt ${}\gamma (t)$ . Daher taucht in der Definition des Wegintegrals das Skalarprodukt zwischen Vektorfeld und Bewegungsrichtung auf. Das gesamte Wegintegral ist die Arbeit, die man längs des Weges in dem Kraftfeld verrichtet. Das Skalarprodukt ${}\left\langle F(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle$ bedeutet zu einem fixierten Zeitpunkt ${}t$ die momentane Leistung.

Satz

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}

ein stetiges Vektorfeld und

\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U

eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]

eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$ .

Dann gilt

${}\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$

Beweis

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}F$ und ${}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Komponentenfunktionen von ${}\gamma$ . Dann gilt mit der Substitution

{}t=g(s)\,

unter Verwendung von Korollar 20.8

{}{\begin{aligned}\int _{\gamma }F&=\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}F_{i}{\left(\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{n}(t)\right)}\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left(\gamma _{1}(g(s)),\ldots ,\gamma _{n}(g(s))\right)}\cdot \gamma _{i}'(g(s))\cdot g'(s)ds\\&=\sum _{i=1}^{n}\int _{c}^{d}F_{i}{\left({\tilde {\gamma }}_{1}(s),\ldots ,{\tilde {\gamma }}_{n}(s)\right)}\cdot {\tilde {\gamma }}_{i}'(s)ds\\&=\int _{\tilde {\gamma }}F.\end{aligned}}

\Box

Die Funktion ${}g\colon [c,d]\rightarrow [a,b]$ nennt man in diesem Zusammenhang eine (orientierungserhaltende) Umparametrisierung. Der Satz besagt, dass das Wegintegral nur von dem durchlaufenen Weg (einschließlich der Richtung) abhängt, nicht aber von der Geschwindigkeit, mit der das passiert. Wenn die Funktion ${}g$ monoton fallend ist, so vertauschen sich bei der Substitution die Integrationsgrenzen und man erhält