Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Woche 5/Rückmeldung

Rückmeldung zur Abgabe der Woche 5

Es wurde gut mitgemacht und die meisten Aufgaben wurden bearbeitet. Viele Integrale wurden anscheinend mit Hilfsmitteln berechnet. Die Übungsaufgaben sollten genutzt werden, gelernte Sachen, wie das eigenständige Integrieren, aufzufrischen, siehe dazu auch die Rückmeldung zur 1. Woche. Einige Probleme tauchten beim Verknüpfen von Funktionen und zum Beispiel dem Einsezten von Funktionen in Vektorfeldern auf. Es sollte sich immer klar gemacht werden, wofür Variablen stehen und sich nicht drauf verlassen werden, dass z.B. ${}v$ immer für ein Vektor steht. Es wird natürlich in der Vorlesung versucht die Notation einfach und konsistent zu halten. Das ist aber nicht immer so einfach, deshalb ist Aufmerksamkeit gefordert. Ein Beispiel hierfür ist Aufgabe 40.19 dort ist das Vektorfeld (ein Zentralfeld, spielt aber hierfür keine Rolle)

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto (t^{3}-t)(v,w)=((t^{3}-t)v,(t^{3}-t)w),$

gegeben. Die Ortskoordinaten sind mit ${}v,w$ bezeichnet, was eindeutig aus der Abbildungsvorschrift hervorgeht. Schaut man sich zur Lösung der Aufgabe nun Lemma 40.13 an, ist zu sehen, dass dort für das allgemeine Zentralfeld ${}v$ als Symbol für den Vektor ALLER Ortskoordinaten gewählt wurde. Darauf ist bei Verwendung des Lösungsansatzes zu achten. Ähnliche Probleme treten auch schnell beim Einsetzen von Funktionen in Vektorfeldern auf. Da muss drauf geachtet werden, dass die entsprechenden Komponenten der Funktion auch für das entsprechende Argument des Vektorfeldes eingesetzt wird, unabhängig davon, wie die einzelnen Dinge benannt worden sind.

Aufgabe 39.22 wurde kaum bearbeitet, was ein wenig wundert, da die Aufgabe 39.14 recht ähnlich ist und kommentiert wurde. Hoffentlich war klar, dass das ${}P$ in der Funktionsdefinition nichts mit dem danach nochmal verwendetem ${}P$ als Punkt zu tun hat. Diese Thematik wurde oben schon besprochen. Ansonsten war bei dieser Aufgabe wichtig, dass das Vektorfeld konstant ist. Dies führt dazu, dass nach Anwendung der Definition des Wegintegrals, das Integral mittels Linearität in das Skalarprodukt gezogen werden kann.

Aufgabe 40.21 wurde nicht bearbeitet. Wichtiges Detail bei dieser Aufgabe ist, dass das Vektorfeld zeitunabhängig ist. Das Windmodell liefert die passende Intuition hinter dieser Aufgabe. Angenommen es liegt eine zeitunabhängige Windströmung vor, das heißt an einem festen Punkt im Raum hat das Teilchen, was sich dort zum aktuellen Zeitpunkt befindet eine feste Geschwindigkeit. Zu einem anderen Zeitpunkt ist dort eventuell ein anderes Teilchen, hat dann aber auch die gleiche Geschwindigkeit. Die Strömung als gesamtes verhält sich demnach an einem Punkt zu jeder Zeit gleich. Wir können uns einen Wirbelsturm vorstellen, der weder seine Position noch seine Drehgeschwindigkeit ändert. Nun betrachten wir das Teilchen, welches sich zum Zeitpunkt ${}t_{0}$ am Punkt ${}v(t_{0})$ befindet. Es wird zeitlich mit der Strömung durch den Raum fliegen. Nach Aufgabenstellung befindet es sich aber zum Zeitpunkt ${}t_{1}$ wieder am Punkt ${}v(t_{1})=v(t_{0})$, also wieder am Ausgangspunkt. Da sich die Strömung aber nicht ändert, wird das Teilchen danach den gleichen Weg wieder fliegen, bis es wieder dort ankommt. Der Zeitraum von ${}t_{0}$ bis ${}t_{1}$ beschreibt demnach den ganzen Bewegungsverlauf, also die Lösung der differentialgleichnug zu allen Zeiten. Demzufolge lässt sich leicht ein Kandidat für die Lösung über ganz ${}\mathbb {R}$ finden. Zu zeigen, dass dieser wirklich eine Lösung ist, bleibt dann auch noch zu tun.