Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Woche 8/Rückmeldung

Rückmeldung zur Abgabe der Woche 8

Die Abgaben dieser Woche waren recht durchwachsen. Bei Rechenaufgaben haben sich häufig einige Rechenfehler eingeschlichen und theoretischere Aufgaben wurden wenig bearbeitet. Falls Unsicherheiten bei den Rechnungen bestehen, ist es auf jeden Fall sinnvoll, die Ergebnisse am Ende noch einmal zu kontrollieren.

Bei Aufgabe 45.20 kam es häufig zu der Schwierigkeit, dass keine Orthonormalbasis, sondern nur eine Basis oder eine Orthogonalbasis angegeben wurde. Hierbei müssen also mehrere Sachen beachtet werden. Die Raumkomponente ist selbst das orthogonale Komplement zur Gerade die durch den Beobachtervektor definiert wird. Dadurch lässt sich direkt eine Gleichung angeben, die die Basisvektoren erfüllen müssen, wie zum Beispiel im Kommentar zu Aufgabe 45.4. Basisvektoren der Raumkomponente können dann als Kern einer Matrix berechnet werden. Die so gewonnen Vektoren sind orthogonal zum Beobachtervektor, aber noch nicht orthogonal zueinander. Um daraus eine Orthogonalbasis zu bauen, wendet man das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an. Dies wird etwa in Beispiel 34.16 durchgeführt. Abschließend muss aus der Orthogonalbasis eine Orthonormalbasis geformt werden – die Basisvektoren müssen also so skaliert werden, dass sie Betrag ${}1$ haben, also normiert sind. Dies wurde bei mehreren Abgaben nicht berücksichtigt.

Das Bestimmen der Richtungsableitungen bei Aufgabe 46.13 hat bis auf einige Rechenfehler überwiegend gut funktioniert, bei Aufgabe 46.14 sind zum Teil Probleme aufgetreten. Diese Schwierigkeiten liegen in der Grenzwertberechnung von Quotienten, insbesondere bei der Anwendung der Regel von l'Hospital. Falls hier Unsicherheiten bestehen, können die Details in Vorlesung 15 und die zugehörigen Aufgaben noch einmal wiederholt werden.

Bei Aufgabe 46.15 gab es auch Probleme mit dem Umgang mit Grenzwerten sowie allgemein mit Summen und Produkten. Bei einer solchen Aufgabe kann es sehr hilfreich sein, sich zuerst einen Spezialfall vorzunehmen, etwa ${}n=2$, um ein Gefühl dafür zu entwickeln, wie der allgemeine Beweis aussehen könnte. In diesem Fall muss der Grenzwert von

${\tfrac {1}{s}}(f(a+sv)-f(a))={\tfrac {1}{s}}\left((a_{1}+sv_{1})^{r_{1}}(a_{2}+sv_{2})^{r_{2}}-a_{1}^{r_{1}}a_{2}^{r_{2}}\right)={\tfrac {1}{s}}\left((a_{1}+sv_{1})\cdots (a_{1}+sv_{1})(a_{2}+sv_{2})\cdots (a_{2}+sv_{2})-a_{1}^{r_{1}}a_{2}^{r_{2}}\right)$

für ${}s\to 0$ bestimmt werden. Die wesentliche Beobachtung besteht nun darin, festzustellen, genau welche Terme des Produkts ${}(a_{1}+sv_{1})^{r_{1}}(a_{2}+sv_{2})^{r_{2}}$ einen Beitrag zum Grenzwert leisten, falls wir die Klammern auflösen. Unter Berücksichtung des Vorfaktors ${}{\tfrac {1}{s}}$ sind dies genau die Terme, in denen ${}s$ nur zur ersten Potenz vorkommt (die sich mit dem Vorfaktor wegkürzt). Terme mit ${}s^{2},s^{3},\dots$ gehen im Grenzwert gegen Null.