Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 15

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„Das Leben ist schön. Von einfach war nie die Rede.“



Höhere Ableitungen

Die Ableitung einer (in jedem Punkt) differenzierbaren Funktion nennt man häufig auch die erste Ableitung von . Unter der nullten Ableitung versteht man die Funktion selbst. Höhere Ableitungen werden rekursiv definiert.


Definition  

Es sei ein Intervall und sei

eine Funktion. Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also , differenzierbar ist. Die Ableitung

nennt man dann die -te Ableitung von .

Die zweite Ableitung schreibt man auch als , die dritte Ableitung als . Wenn eine Funktion -mal differenzierbar ist, so sagt man auch, dass die Ableitungen bis zur -ten Ordnung existieren. Eine Funktion heißt unendlich oft differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar für jedes ist.

Eine differenzierbare Funktion ist nach Korollar 14.6 stetig, allerdings muss die Ableitung keineswegs stetig sein. Daher ist der folgende Begriff nicht überflüssig.


Definition  

Sei ein Intervall und

eine Funktion. Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.

Eine Funktion heißt -mal stetig differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung stetig ist.



Extrema von Funktionen

Wir untersuchen jetzt mit Mitteln der Differentialrechnung, wann eine differenzierbare Funktion

wobei ein Intervall ist, (lokale) Extrema besitzt und wie ihr Wachstumsverhalten aussieht.



Satz  

Es sei

eine Funktion, die in ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.

Dann ist .

Beweis  

Wir können annehmen, dass ein lokales Maximum in besitzt. Es gibt also ein mit für alle . Es sei eine Folge mit , die gegen („von unten“) konvergiere. Dann ist und und somit ist der Differenzenquotient

was sich dann nach Lemma 7.11 auf den Limes, also den Differentialquotienten, überträgt. Also ist . Für eine Folge mit gilt andererseits

Daher ist auch und somit ist insgesamt .


X Cubed.svg

Man beachte, dass das Verschwinden der Ableitung nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines Extremums ist. Das einfachste Beispiel für dieses Phänomen ist die Funktion , , die streng wachsend ist, deren Ableitung aber im Nullpunkt verschwindet.



Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Der folgende Satz heißt Satz von Rolle.



Satz  

Sei und sei

eine stetige, auf differenzierbare Funktion mit .

Dann gibt es ein mit

Beweis  

Wenn konstant ist, so ist die Aussage richtig. Sei also nicht konstant. Dann gibt es ein mit . Sagen wir, dass größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Satz 11.13 gibt es ein , wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses ist dann nach Satz 15.3.


Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt anschaulich gesprochen, dass es zu einer Sekante eine parallele Tangente gibt.


Der folgende Satz, der direkt aus dem Satz von Rolle folgt, heißt Mittelwertsatz der Differentialrechnung.



Satz  

Sei und sei

eine stetige, auf differenzierbare Funktion.

Dann gibt es ein mit

Beweis  

Wir betrachten die Hilfsfunktion

Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in differenzierbar. Ferner ist und

Daher erfüllt die Voraussetzungen von Satz 15.4 und somit gibt es ein mit . Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also




Korollar  

Sei

eine differenzierbare Funktion mit für alle .

Dann ist konstant.

Beweis  

 Wenn nicht konstant ist, so gibt es mit . Dann gibt es aufgrund von Satz 15.5 ein , , mit , ein Widerspruch zur Voraussetzung.




Satz  

Es sei ein offenes Intervall und

eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Funktion ist genau dann auf wachsend (bzw. fallend), wenn (bzw. ) für alle ist.
  2. Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng wachsend.
  3. Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng fallend.

Beweis  

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn wachsend ist, und ist, so gilt für den Differenzenquotienten

für jedes mit . Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert, und dieser ist .
Sei umgekehrt die Ableitung .    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte in mit gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein mit mit

 im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre für zwei Punkte . Da nach dem ersten Teil wachsend ist, ist auf dem Intervall konstant. Somit ist auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass nur endlich viele Nullstellen besitzt.



Korollar

Eine reelle Polynomfunktion

vom Grad besitzt maximal lokale Extrema, und die reellen Zahlen lassen sich in maximal Intervalle unterteilen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.13.




Der zweite Mittelwertsatz und die Regel von l'Hospital

Die folgende Aussage heißt auch zweiter Mittelwertsatz.



Satz  

Es sei und seien

stetige, auf differenzierbare Funktionen mit

für alle .

Dann ist und es gibt ein mit

Beweis  

Die Aussage

folgt aus Satz 15.4. Wir betrachten die Hilfsfunktion

Es ist

Also ist und Satz 15.4 liefert die Existenz eines mit

Umstellen ergibt die Behauptung.


Zur Berechnung von Grenzwerten einer Funktion, die als Quotient gegeben ist, ist die folgende Regel von l'Hospital hilfreich.



Korollar  

Es sei ein offenes Intervall und ein Punkt. Es seien

stetige Funktionen, die auf differenzierbar seien mit und mit für . Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

und sein Wert ist ebenfalls .

Beweis  

Es sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Zu jedem gibt es nach Satz 15.9, angewandt auf bzw. , ein (im Innern[1] von ) mit

Die Folge konvergiert ebenfalls gegen , so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen , und wegen bedeutet das, dass gegen konvergiert.



Beispiel  

Die beiden Polynome

haben beide für eine Nullstelle. Es ist also nicht von vornherein klar, ob der Limes

existiert und welchen Wert er besitzt. Aufgrund der Regel von l'Hospital kann man den Grenzwert über die Ableitungen bestimmen, und das ergibt




Fußnoten
  1. Unter dem Innern eines [[{{:MDLUL/MDLUL/|opt=Ziel}}|]] versteht man das Intervall ohne die Intervallgrenzen.


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