Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Woche 9/Rückmeldung

Rückmeldung zur Abgabe der Woche 9

Es wurden viele Aufgaben nicht bis kaum bearbeitet, darunter die meisten Aufgaben des Blattes 48. Nur ungefähr ein Drittel der aktiven Gruppen haben 10 Punkte erreicht. Das liegt hoffentlich daran, dass die meisten die Punkte für ihre Zulassung gesammelt haben und deshalb nicht zur Korrektur abgegeben wurden. Die Aufgaben sollten natürlich dennoch bearbeitet werden, denn das ist wie immer eine gute Gelegenheit den Vorlesungsstoff zu vertiefen.

Bei den Aufgaben ging es hauptsächlich darum mit den Begriffen differenzierbar in eine Richtung, partiell differenzierbar und (total) differenzierbar umzugehen. Dabei ist total differenzierbar eine sehr starke Eigenschaft, denn ist eine Funktion total differenzierbar, dann ist sie auch wegen Proposition 48.9 in jede Richtung differenzierbar und daher auch insbesondere in die Richtung der Koordinatenachsen bei gewählter Basis. Das heißt sie ist dann auch partiell differenzierbar, siehe auch Bemerkung 48.10. Jetzt ist aber totale Differenzierbarkeit recht abstrakt über die Approximierbarkeit mit Hilfe einer linearen Funktion, dem totalen Differenzial, definiert. Mit Hilfe dieser Definition die totale Differenzierbarkeit einer Funktion zu zeigen ist häufig sehr schwierig. Von daher ist Satz 48.11 sehr wichtig und vor allem für die Anwendung sehr praktisch (dort sind die meisten Funktionen in Koordinaten ausgedrückt). Er besagt nämlich, dass eine Funktion total differenzierbar ist, wenn alle partiellen Ableitungen, also Ableitungen in Koordinatenrichtung, existieren und stetig sind. Das totale Differential ist dann durch die Jacobi-matrix gegeben. Die Richtungsableitung der Funktion in eine beliebige Richtung ist dann durch dem Produkt von Jacobi-Matrix und dem Richtungsvektor gegeben. Stetig partielle Differenzierbarkeit ist somit der stärkste Begriff. (All das genannte findet natürlich erst einmal in einem Punkt statt und wenn es für alle Punkte im Definitionsbereich gilt, reden wir von der entsprechenden Differenzierbarkeit der Funktion.)

Damit sollte zum Beispiel die Aufgabe 48.18 nicht mehr so schwierig sein. Sie wurde aber leider kaum bearbeitet. Dort ist es recht leicht zu zeigen, dass sämtliche partiellen Ableitungen der ${}f_{j}$ existieren und stetig sind. Das totale Differential ist dann die Jacobi-Matrix und die ist nicht schwierig anzugeben.

Aufgabe 47.22 wurde von einigen bearbeitet, aber leider nicht ganz richtig durchgeführt und wir gehen einmal etwas detaillierter darauf ein. Die Aufgabe liefert ein Beispiel einer Funktion, bei der die Aussage vom Satz von Schwarz, bzw. Korollar 47.13 im Punkt (0,0) nicht gilt. Es soll gezeigt werden, dass die Funktion

$f(x,y)={\begin{cases}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0&{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}$

zweimal partiell differenzierbar ist, aber dass

${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f(0,0)\neq {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(0,0).$

Daraus können wir dann direkt schließen, dass mindestens eine der zweiten partielle Ableitungen in ${}(0,0)$ nicht stetig sein kann, sonst müsste wegen des Satzes von Schwarz Gleichheit gelten. Dass die Funktion in ${}(0,0)$ gesondert definiert ist, liegt dabei daran, dass der Nenner in der eigentlichen Definitionsvorschrift dort Null ist und diese somit erst einmal nicht gültig wäre. Das sollte uns aber nicht abschrecken. Falls ${}(x,y)\neq (0,0)$ ist, ist schnell zu sehen, dass ${}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$ für festes ${}x$ in ${}y$-Richtung differenzierbar ist und umgekehrt. Dabei ist die Ableitung in Richtung ${}y$ gegeben durch

${\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)={\frac {x^{5}-4x^{3}y^{2}-xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

was mit üblichen eindimensionalen Differentitionsregeln berechnet werden kann. Jetzt bleibt aber noch der Punkt ${}(0,0)$. Hier bleibt uns nichts anderes übrig als direkt den Differenzenquotienten zu betrachten, dieser muss in die entsprechende Koordinatenrichtung existieren für partielle Differenzierbarkeit. In ${}y$-Richtung bekommen wir

${\frac {\partial }{\partial y}}f(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0,h)-f(0,0)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0-0}{h}}=\lim _{h\to 0}0=0$

was recht unspektakulär ist. Für die partielle Ableitung in ${}y$-Richtung bekommen wir also

${\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{5}-4x^{3}y^{2}-xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0&{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,.\end{cases}}$

Durch gleiches Vorgehen können wir ${}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)$ berechnen.

Dann können wir die zweiten partiellen Ableitungen in Angriff nehmen, hier nur für ${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)$. Wieder, falls ${}(x,y)\neq (0,0)$ ist, berechnen wir für diesmal festes ${}y$ mit eindimensionalem Ableiten nach ${}x$

${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)={\frac {x^{6}+9x^{4}y^{2}-9x^{2}y^{4}-y^{6}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}.$

Im Punkt ${}(0,0)$ wieder zu Fuß mit Differenzenquotienten, erhalten wir

${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f(0,0)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {\partial }{\partial y}}f(h,0)-{\frac {\partial }{\partial y}}f(0,0)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {\partial }{\partial y}}f(h,0)-0}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h^{5}-4\cdot h^{3}\cdot 0-h\cdot 0^{4}}{h(h^{2}+0^{2})^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h^{5}}{h^{5}}}=\lim _{h\to 0}1=1.$

Der Limes existiert, damit existiert ${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f$ überall. Dies muss nun auch noch für ${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}f,{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial y}}f,{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f$ durchgeturnt werden. Was dann aber auffallen soll ist, dass beim Differenzenquotienten für ${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(0,0)$ was anderes als ${}1={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}f(0,0)$ herauskommt.