Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 34/latex
\setcounter{section}{34}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} auf dem $\R^n$ in der Tat ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Bestätige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {x+y} \Vert^2-\Vert {x-y} \Vert^2
}
{ =} { 4 \left\langle x , y \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.} Zeige, dass die sogenannte \stichwort {Parallelogrammgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert ^2 + \Vert {v-w} \Vert ^2
}
{ =} { 2 \Vert {v} \Vert ^2 +2 \Vert {w} \Vert ^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über $\R$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der zugehörige
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
die folgenden Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {dabei sind $u,v,w \in V$} {} {.}
\aufzaehlungvier{Es ist $d( v , w ) \geq 0$.
}{Es ist $d( v , w ) = 0$ genau dann, wenn
\mathl{v=w}{.}
}{Es ist $d( v , w ) = d( w , v )$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( u , w )
}
{ \leq} { d( u , v ) + d( v , w )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Norm
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {x} \Vert
}
{ \defeq }{ \operatorname{max} \{ \betrag { x_i }:1 \leq i \leq n \} }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
auf dem $\R^n$ kein Skalarprodukt $\left\langle - , - \right\rangle$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {x} \Vert
}
{ = }{ \sqrt{ \left\langle x , x \right\rangle }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, welche der folgenden Vektoren im $\R^3$ zueinander
\definitionsverweis {orthogonal}{}{}
bezüglich des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{}
sind.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 \\1\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\-8\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\-1\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
zu dem von
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\8\\ 9 \end{pmatrix}}{}
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{}
im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 8 \\3\\ -6\\-4 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 7\\5 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Zu
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{U'
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ \supseteq} { U'^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0^{ { \perp } }
}
{ = }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^{ { \perp } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U^{ { \perp } } \right) } ^{ { \perp } }
}
{ =} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( U^{ { \perp } } \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) } - \operatorname{dim}_{ } { \left( U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^3$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei $U \subseteq \R^3$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {3x+y+7z } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.
}
{} {}
Es seien
\mathl{V,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Dann heißt $\varphi$ eine \definitionswort {Isometrie}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , \varphi(w) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ ist, wenn die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^n} {V
} {e_i} {u_i
} {,}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
zwischen
\mathkor {} {\R^n} {und} {V} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {bijektiven}{}{}
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
an, die keine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
ist, für die aber für alle $u,v \in V$ die Beziehung
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = 0 \text{ genau dann, wenn } \left\langle \varphi(u) , \varphi(v) \right\rangle =0} { }
gilt.
}
{} {}
Für die folgenden Aufgaben siehe Bemerkung 34.17. Die Spiegelung muss nicht notwendigerweise an einem Unterraum, sondern kann auch an einem stückweise linearen Objekt, wie beispielsweise einer rechteckförmigen Billardbande, passieren.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Bewegung im $\R^2$, die linear durch den Punkt $\begin{pmatrix} 5 \\4 \end{pmatrix}$ mit dem Richtungsvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix}}{} verläuft und an der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3x+7y
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Gerade
\definitionsverweis {reflektiert}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Bewegung im $\R^2$, die linear durch den Punkt $\begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix}$ mit dem Richtungsvektor
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\-5 \end{pmatrix}}{} verläuft und am Achsenkreuz
\definitionsverweis {reflektiert}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip \anfuehrung{Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel}{.} \aufzaehlungvier{Beschreibe durch eine Skizze \zusatzklammer {inklusive Winkel oder Punktkoordinaten} {} {} eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden. }{Beschreibe durch eine Skizze \zusatzklammer {inklusive Winkel oder Punktkoordinaten} {} {} eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden. }{Beschreibe durch eine Skizze \zusatzklammer {inklusive Winkel oder Punktkoordinaten} {} {} eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden. }{Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Bewegung im $\R^3$, die linear durch den Punkt $\begin{pmatrix} 2 \\6\\ -5 \end{pmatrix}$ mit dem Richtungsvektor
\mathl{\begin{pmatrix} -4 \\3\\ 3 \end{pmatrix}}{} verläuft und an der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6x-y+4z
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Ebene $E$
\definitionsverweis {reflektiert}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbeledisp {L} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {x+3y-4z
} {.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme den Vektor
\mathl{u \in \R^3}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = L(v) \text { für alle } v \in \R^3} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
bezeichnet.
} {Es sei
\mathdisp {E= { \left\{ (x,y,z) \mid 3x-2y-5z = 0 \right\} } \subset \R^3} { }
und es sei
\mathl{\varphi=L {{|}}_E}{} die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $L$ auf $E$. Bestimme den Vektor
\mathl{w \in E}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle w , v \right\rangle = \varphi (v) \text { für alle } v \in E} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$ bezeichnet.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{,}
der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei
\maabbdisp {f} {V} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Gradient im Sinne von
Lemma 34.19.
Zeige, dass der Gradient
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zur Einschränkung
\mathl{f {{|}}_U}{} die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
von $v$ auf $U$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x+y
} {.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme den Gradienten zu $\varphi$ bezüglich des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{.}
} {Bestimme den Gradienten zu $\varphi$ bezüglich des Skalarproduktes $\Psi$ auf $\R^2$, das durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi { \left( \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} z \\w \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { 2xz+3yw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$. Beweise den \stichwort {Satz des Pythagoras} {:} Für zwei Vektoren $v,w \in V$, die
\definitionsverweis {senkrecht}{}{}
aufeinander stehen, gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert^2
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 5 \\8\\ -3\\9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 6 \\2\\ 0\\3 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } \left\langle v , u_i \right\rangle u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wende das
Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-4\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\3\\ 1 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$, versehen mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{,}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^4$ sei mit dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei $U \subseteq \R^4$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R } {(x,y,z,w)} {4x-3y+2z-5w } {,} versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} für $U$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{ $\varphi$ ist eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
}{Für jeden Vektor $v$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jede
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
$u_i, i = 1 , \ldots , n$, ist auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$, eine Orthonormalbasis.
}{Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i, i = 1 , \ldots , n$, derart, dass auch $\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n$,
eine Orthonormalbasis ist.}
}
{} {}