Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 34

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem in der Tat ein Skalarprodukt ist.


Aufgabe

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.


Aufgabe

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?


Aufgabe *

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?


Aufgabe

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Bestätige


Aufgabe

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist .
  4. Es ist


Aufgabe

Es sei . Zeige, dass für die Norm auf dem kein Skalarprodukt mit der Eigenschaft existiert.


Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.


Aufgabe

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe *

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu Untervektorräumen ist
  2. Es ist und .
  3. Es sei endlichdimensional. Dann ist
  4. Es sei endlichdimensional. Dann ist


Aufgabe *

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Es seien Vektorräume über mit Skalarprodukten und

eine lineare Abbildung. Dann heißt eine Isometrie, wenn für alle gilt:


Aufgabe *

Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

eine Isometrie zwischen und ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle die Beziehung

gilt.


Für die folgenden Aufgaben siehe Bemerkung 34.17. Die Spiegelung muss nicht notwendigerweise an einem Unterraum, sondern kann auch an einem stückweise linearen Objekt, wie beispielsweise einer rechteckförmigen Billardbande, passieren.

Aufgabe

Bestimme die Bewegung im , die linear durch den Punkt mit dem Richtungsvektor verläuft und an der durch gegebenen Gerade reflektiert wird.


Aufgabe

Bestimme die Bewegung im , die linear durch den Punkt mit dem Richtungsvektor verläuft und am Achsenkreuz reflektiert wird.


Aufgabe *

Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel.

  1. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
  2. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel) eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden.
  3. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel) eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden.
  4. Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden.


Aufgabe

Bestimme die Bewegung im , die linear durch den Punkt mit dem Richtungsvektor verläuft und an der durch

gegebenen Ebene reflektiert wird.


Aufgabe

Betrachte die Linearform

  1. Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.

  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

eine Linearform und der zugehörige Gradient im Sinne von Lemma 34.19. Zeige, dass der Gradient zur Einschränkung die orthogonale Projektion von auf ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Linearform

  1. Bestimme den Gradienten zu bezüglich des Standardskalarproduktes.
  2. Bestimme den Gradienten zu bezüglich des Skalarproduktes auf , das durch

    gegeben ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren , die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von und erzeugten Untervektorraum im .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für jeden Vektor die Beziehung

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des , versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.


Aufgabe (4 Punkte)

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für jeden Vektor mit ist auch .
  3. Für jede Orthonormalbasis , ist auch , eine Orthonormalbasis.
  4. Es gibt eine Orthonormalbasis , derart, dass auch , eine Orthonormalbasis ist.



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