Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 60/latex

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\setcounter{section}{60}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Annulus.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Annulus.svg } {} {Nandhp} {Commons} {PD} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Flächeninhalt eines \definitionsverweis {Annulus}{}{} gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten den Kreissektor $T$ aus dem Einheitskreis zum Winkel $30$ Grad, der an der $x$-Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von $T$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {,} \definitionsverweis {flächentreu}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x + \sin y ,y + \cos x) } {.} Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf dem Quadrat
\mathl{Q=[0,2 \pi] \times [0,2 \pi ]}{.} Welche Abschätzung ergibt sich daraus für
\mathl{\lambda^2( \varphi(Q))}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^3 } {,} in reellen Koordinaten und bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} und die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} davon. Ebenso für $z^4$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {linearen Isometrie}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} gleich \mathkor {} {1} {oder gleich} {-1} {} ist.

}
{} {Tipp: Was passiert mit dem Einheitswürfel?}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {volumentreu}{}{,} aber keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} im
\mathl{\R^n}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {volumentreuer}{}{} $C^1$-\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{.} Es sei $G$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.} Zeige, dass entweder
\mathl{(J(\varphi))(x) =1}{} für alle
\mathl{x \in G}{} oder aber
\mathl{(J(\varphi))(x) =-1}{} für alle
\mathl{x \in G}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {\R^n} { \R^n } {} eine \definitionsverweis {Verschiebung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda^n (S) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{ \varphi(S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $S$ unter $\varphi$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} von $S$ unter $\varphi$ in den Schwerpunkt von $T$ abgebildet wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {\R^n} { \R^n } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda^n (S) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{ \varphi(S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $S$ unter $\varphi$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} von $S$ unter $\varphi$ in den Schwerpunkt von $T$ abgebildet wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige mit Aufgabe 59.10, Aufgabe 60.11 und Aufgabe 60.12, dass der \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} eines Dreiecks im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{A,B,C}{} gleich
\mathl{{ \frac{ A+B+C }{ 3 } }}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{[-1,3] \times [0,2] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unter der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {(x,y)} {(x^3,y-x^2) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R_+ \times \R_+ \mid x^2 > y^3 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {G} { \R^2 } {(x,y)} { (xy,x^2-y^3) } {.} \aufzaehlungvier{Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist. }{Zeige, dass $\varphi$ einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} auf sein \definitionsverweis {Bild}{}{} induziert. }{Zeige, dass das Rechteck
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{ [3,4] \times [1,2] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $G$ liegt. }{Berechne den Flächeninhalt des Bildes von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{ [3,4] \times [1,2] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unter $\varphi$. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass unter den \definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{} der \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} einer kompakten Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^2}{}
\betonung{nicht}{} in den Schwerpunkt des Bildes $\varphi(T)$ überführt werden muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x^3-y^2,xy^2) } {.} Berechne das Minimum und das Maximum von
\mathl{\betrag { \det \left(D\varphi\right)_{P} }}{} auf den beiden Quadraten \mathkor {} {Q_1= [0,1] \times[0,1]} {und} {Q_2= [1,2] \times[1,2]} {.} Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für \mathkor {} {\lambda^2( \varphi(Q_1))} {und für} {\lambda^2( \varphi(Q_2))} {?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{7 (3+2+2)}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {[0,10]} {\R } {x} {x^2 } {,} und interessieren uns für die Straße der Breite $1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge $1$ \zusatzklammer {mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen} {} {} untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine \zusatzklammer {möglichst einfache} {} {} Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} und die \definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{} zur Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C} \cong \R^2} {{\mathbb C} \cong \R^2 } {z} {z^n } {,} in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a,b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Hilfe von \definitionsverweis {Polarkoordinaten}{}{.}

}
{} {}