Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 60
- Übungsaufgaben
Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.
Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.
Wir betrachten den Kreissektor aus dem Einheitskreis zum Winkel Grad, der an der -Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von .
Wir betrachten die Abbildung
Beschreibe die Abbildung
in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante davon. Ebenso für .
Tipp: Was passiert mit dem Einheitswürfel?
Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung
derart, dass volumentreu, aber keine Isometrie ist.
Es seien und offene Mengen im und es sei
ein volumentreuer -Diffeomorphismus. Es sei zusammenhängend. Zeige, dass entweder für alle oder aber für alle gilt.
Es sei eine Verschiebung und sei eine kompakte Teilmenge mit und sei das Bild von unter . Zeige, dass der Schwerpunkt von unter in den Schwerpunkt von abgebildet wird.
Es sei eine bijektive lineare Abbildung und sei eine kompakte Teilmenge mit und sei das Bild von unter . Zeige, dass der Schwerpunkt von unter in den Schwerpunkt von abgebildet wird.
Zeige mit Aufgabe 59.10, Aufgabe 60.11 und Aufgabe 60.12, dass der Schwerpunkt eines Dreiecks im mit den Eckpunkten gleich ist.
Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks unter der Abbildung
Es sei
wir betrachten die Abbildung
- Zeige, dass injektiv ist.
- Zeige, dass einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
- Zeige, dass das Rechteck in liegt.
- Berechne den Flächeninhalt des Bildes von unter .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige durch ein Beispiel, dass unter den Polarkoordinaten der Schwerpunkt einer kompakten Teilmenge nicht in den Schwerpunkt des Bildes überführt werden muss.
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten und . Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für und für ?
Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.
b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.
c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante zur Abbildung
in einem beliebigen Punkt mit der Hilfe von Polarkoordinaten.
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