Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 60

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.


Annulus.svg

Aufgabe

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.


Aufgabe *

Wir betrachten den Kreissektor aus dem Einheitskreis zum Winkel Grad, der an der -Achse anliegt. Bestimme mit der Hilfe von Polarkoordinaten den Schwerpunkt von .


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

flächentreu ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf dem Quadrat . Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ?


Aufgabe

Beschreibe die Abbildung

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante davon. Ebenso für .


Aufgabe

Finde möglichst große offene Teilmengen und derart, dass die Abbildung

einen Diffeomorphismus von nach induziert.


Aufgabe *

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

gleich oder gleich ist.

Tipp: Was passiert mit dem Einheitswürfel?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass volumentreu, aber keine Isometrie ist.


Aufgabe

Es seien und offene Mengen im und es sei

ein volumentreuer -Diffeomorphismus. Es sei zusammenhängend. Zeige, dass entweder für alle oder aber für alle gilt.


Aufgabe

Es sei eine Verschiebung und sei eine kompakte Teilmenge mit und sei das Bild von unter . Zeige, dass der Schwerpunkt von unter in den Schwerpunkt von abgebildet wird.


Aufgabe *

Es sei eine bijektive lineare Abbildung und sei eine kompakte Teilmenge mit und sei das Bild von unter . Zeige, dass der Schwerpunkt von unter in den Schwerpunkt von abgebildet wird.


Aufgabe

Zeige mit Aufgabe 59.10, Aufgabe 60.11 und Aufgabe 60.12, dass der Schwerpunkt eines Dreiecks im mit den Eckpunkten gleich ist.


Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks unter der Abbildung


Aufgabe *

Es sei

wir betrachten die Abbildung

  1. Zeige, dass injektiv ist.
  2. Zeige, dass einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
  3. Zeige, dass das Rechteck in liegt.
  4. Berechne den Flächeninhalt des Bildes von unter .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige durch ein Beispiel, dass unter den Polarkoordinaten der Schwerpunkt einer kompakten Teilmenge nicht in den Schwerpunkt des Bildes überführt werden muss.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten und . Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für und für ?


Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

und interessieren uns für die Straße der Breite , deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante zur Abbildung

in einem beliebigen Punkt mit der Hilfe von Polarkoordinaten.



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