Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( c \cdot x_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( c \cdot x_n \right) }
}
{ =} { c \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ 1 }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
reelle
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( { \frac{ y_n }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ y_n }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ n^k } } \right) }_{ n \in \N }}{} gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Berechne
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {x_0 \cdot y_0, \, x_1 \cdot y_1} {und} {x_2 \cdot y_2} {.}
}{Konvergiert die
\definitionsverweis {Produktfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_n
}
{ = }{x_n \cdot y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
innerhalb der rationalen Zahlen?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei eine reelle Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.
(a) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ > }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Folge ist streng fallend.
(b) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Folge konstant.
(c) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ < }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Folge ist streng wachsend.
(d) Die Folge konvergiert.
(e) Der Grenzwert ist $a$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{6n^3+3n^2-4n+5}{7n^3-6n^2-2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {P = \sum_{ i = 0 }^{ d } a_{ i } x^{ i}} {und} {Q = \sum_{ i = 0 }^{ e } b_{ i } x^{ i}} {} \definitionsverweis {Polynome}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_d, b_e
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man bestimme in Abhängigkeit von
\mathkor {} {d} {und} {e} {,}
ob die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_n
}
{ =} { { \frac{ P(n) }{ Q(n) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für $n$ hinreichend groß} {} {} definierte \definitionsverweis {Folge}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die rekursiv definierte
\definitionsverweis {Folge}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} { \frac{ x_n + a/x_n }{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $\sqrt{a}$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{,} die nicht konvergiert, aber eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu jeder natürlichen Zahl $k$ sei eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
$y_k$ gegeben, das $n$-te Folgenglied der $k$-ten Folge sei mit $y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge $z_n$, deren $n$-tes Folgenglied durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n
}
{ =} { \sum_{ k = 1 }^n y_{kn}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?
}
{Kann man in der vorstehenden Aufgabe
Lemma 8.1 (1)
anwenden?} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu jeder natürlichen Zahl $k$ sei eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
$y_k$ gegeben, das $n$-te Folgenglied der $k$-ten Folge sei mit $y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge $z_n$, deren $n$-tes Folgenglied durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n
}
{ =} { \prod_{ k = 1 }^n y_{kn}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?
}
{Kann man in der vorstehenden Aufgabe
Lemma 8.1 (3)
anwenden?} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere das \stichwort {Cauchyprinzip der Approximation} {:} Wenn sich bei einem Approximationsverfahren die Approximationen nicht mehr spürbar verbessern, obwohl man den Aufwand ständig erhöht, so liegt das vermutlich daran, dass man der Wahrheit sehr nahe ist. Betrachte mathematische und nichtmathematische Beispiele und Gegenbeispiele.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge
\mathl{(a_n)_{n \in \N}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n+1 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 2n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ die Folge der
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ f_n }{ f_{n-1} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und dass der Grenzwert $x$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {1 + x^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Berechne daraus $x$.
}
{} {Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.}
Zu zwei nichtnegativen
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
heißt
\mathdisp {\sqrt{ x \cdot y}} { }
das \definitionswort {geometrische Mittel}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { b^{ { \frac{ 1 }{ n } } }
}
{ =} { \sqrt[n]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mathl{n \in \N_+}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
}{Zeige, dass sämtliche Folgenglieder $\geq 1$ sind.
}{Zeige, dass die Folge gegen $1$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung
bestimmte Zahl
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n
}
{ =} {[a_n,b_n]
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige unter Verwendung
der Bernoullischen Ungleichung,
dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
ist.
}
{} {}
Mit einem ähnlichen Argument kann man zeigen, dass die Folge
\mathl{{ \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^{n+1}}{} fallend ist und dass durch
\mathl{[ { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^{n}, { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^{n+1} ]}{} eine Intervallschachtelung gegeben ist. Die dadurch festgelegte reelle Zahl ist die eulersche Zahl $e$. Wir werden im Laufe des Kurses noch eine weitere Beschreibung für diese Zahl kennenlernen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{x^n,\, n \in \N}{,}
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $x$
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq }{x^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {reellen Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} für die es sowohl eine
\definitionsverweis {bestimmt}{}{}
gegen $+ \infty$ als auch eine bestimmt gegen $- \infty$ divergente
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }} { }
gegebene Folge
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( \sqrt{n} \right) }_{ n \in \N }}{}
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $\infty$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge genau dann
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist, wenn ${ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }$ gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 7n^3-3n^2+2n-11 }{ 13n^3-5n+4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Folge}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 2n+5 \sqrt{n} +7 }{ -5 n+3 \sqrt{n} -4 } }} { }
definierten
\definitionsverweis {reellen Folge}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe Beispiele für
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folgen}{}{}
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
mit
\mathbed {x_n \neq 0} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
und mit $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( { \frac{ y_n }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert,
}{gegen $1$ konvergiert,
}{divergiert.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Untersuche die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} {{ \frac{ \sqrt{n}^n }{ n! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Folge auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{\R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
mit dem Grenzwert $x$. Zeige, dass die Folge
\mathl{\sqrt{x_n}}{} gegen
\mathl{\sqrt{x}}{} konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
durch
\mathl{x_0= a}{,}
\mathl{y_0= b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }
\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
ist.
}
{} {}