Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Einführung Teilprojekt 3

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Thema[Bearbeiten]

  • Vergleich der Infektionsverläufe des Covid-19 Virus in 4 ausgewählten Ländern
  • SIR Modell
  • dort getroffenen Maßnahmen zur Bekämpfung

Begründung der Länderauswahl[Bearbeiten]

  • Deutschland: Identifikation durch uns selbst
  • Italien : sehr früh und sehr stark betroffen
  • Schweden : meisten Maßnahmen waren freiwillig
  • Südkorea : geringe Fallzahlen

SIR-Modell[Bearbeiten]

Annahmen[1][2]:[Bearbeiten]

  • konstant
  • Interaktion innerhalb der Gruppen mit gleicher Wahrscheinlichkeit
  • -> ->
  • Infizierte sind sofort ansteckend

Anfangsbedingungen:

  • R0=0
  • I0 >0, S0 >0
  • α > β

Differentialgleichungen des SIR-Modells[Bearbeiten]

  • , mit α: Infektionsrate
  • , mit β: Sterberate

Modellierung[Bearbeiten]

Sekundarstufe I[Bearbeiten]

Erstellen des SIR-Modells für die ausgewählten Länder mithilfe der Tabellenkalkulation

SIR-Modell TK[Bearbeiten]

Modellerstellung mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms[3] mit

  • Zeit + Zeitschritt
  • Infizierbare Personen
  • Infizierte über "next I": Nächstes It: Wenn < 1 und * BRZ* >0, dann * BRZt* . Sonst 0
  • Genesene Personen
  • BRZ frei wählbar

Vorgehen[Bearbeiten]

  • 1. Recherchieren der realen Fallzahlen und Verläufe in dem jeweiligen Land
  • 2. Anpassung von BRZ, bis modellierte Kurven mit den realen Kurven übereinstimmen
  • 3. Modellieren, wie sich Verläufe verändern, wenn sich ab bestimmten Zeitpunkten die BRZ erhöhen/verringern

SIR - Schweden[Bearbeiten]

SIR-Modell Schweden

SIR - Südkorea[Bearbeiten]

SIR-Modells Südkorea

SIR - Italien[Bearbeiten]

SIR-Modell Italien

SIR - Deutschland[Bearbeiten]

SIR-Modell Deutschland


Sekundarstufe II[Bearbeiten]

  • Verteilung des Corona-Virus zwischen den Ländern
  • Integrierung einer Transportmatrix in das SIR-Modell

Grundlagen Matrizenrechnung[Bearbeiten]

  • lineares Gleichungssystem der Form
  • Matrizenmultiplikation nur wenn im Falle und
  • Beispielhafte Erklärung: Matrix und Vektor

Anwendung auf Flugverkehr[Bearbeiten]


  •  : Anteil der in Land i Bleibenden [%]
  •  : Anteil der Reisenden von Land i nach Land j [%]
  • Vektor  : Einwohnerzahlen von Land i und Land j
  • Vektor : Einwohnerzahlen der Länder nach Transportprozess

Abschätzung, wie viele Flugpassagiere von einem Land zum anderen fliegen:[Bearbeiten]

  • Annahme =
  • Berechnung mit abfliegenden Personen pro Tag weltweit und abfliegenden Personen pro Tag des Landes
  • Flüge unabhängig von der Entfernung der Länder und der Zeit

Beispiel: Transportprozesse zwischen Schweden und Südkorea[Bearbeiten]


und lassen sich analog bestimmen


Matrixeinbindung in LibreOffice[Bearbeiten]

"next I" SW: * BRZ * - * ( - )

Infektionsgeschehen in Südkorea und Schweden im Transportmodell[Bearbeiten]

midi
  • Erste Infizierte Person in Schweden an Tag 46 (+/- 3 Tage)
  • Infektionsgeschehen in Schweden schneller (15 Tage weniger bis Maximum)
midi

Uniniveau[Bearbeiten]

Konzept[Bearbeiten]

  • Ziel: Funktion finden, die die Neuinfektionen abbildet
  • Logistisches Wachstum über Bernoulli-DGL
  • Graph der Lösung der B.-DGL entspricht Kurve der kummulierten Infiziertenzahl
  • Ableitung der Lösung entspricht der Kurve der Neuinfektionen
  • nichtlineare Regression in R Studio
  • Vergleich der Länder über ausgegebene Parameter

Bernoullische Differentialgleichung[Bearbeiten]

Einschub: Bernoullische Differentialgleichung


  • Eine DGL der Gestalt lässt sich wie folgt lösen:



Lösung der Bernoullische Differentialgleichung[Bearbeiten]

Lösen der homogenen DGL

  • ergibt


  • mit die partikulare Lösung ist


  • und mit ergibt sich:
  • Da

Parametisierung[Bearbeiten]

  • Durch Parametisierung


  • Beidseitige Ableitung der Bernoullische DGL:

ist eine Lösung der DGL .

SIR: DGL[Bearbeiten]

SIR-Modell

  • Für das SIR-Modell werden drei DGL verwendet ():





Es gilt

Lösung der DGL nach Näherung[Bearbeiten]

Die DGL für die Infiziertenzahl lässt sich also wie folgt schreiben:


  • Vernachlässigung des letzten Terms :


vergleiche mit ; mit aus der Ableitung der B.-DGL


Modellierung der Infiziertenzahl[Bearbeiten]

  • nicht lineare Regression mit der Methode der kleinsten Quadrate
  • Kurvenanpassung an (bspw. ) Werte durch Minimerung des Abstandquadrates der Messpunkte zu der Fitkurve über die Veränderung der Parameter:


Minimum finden über


  • Schätzintervall für die Werte von und (Werte liegen zu darin)


  •  : Schwere der Epidemie


  •  : Ausbreitungsgeschwindigkeit


  •  : Dauer zum vorläufigen Höhepunkt der Epidemie

Ergebnis[Bearbeiten]

Tabelle a,c,k.png
  • Schwere der Pandemie in Italien am höchsten, in Südkorea am geringsten
  • Südkorea höchste Ausbreitungsgeschwindigkeit
  • Schweden geringste Ausbreitungsgeschwindigkeit
  • Italien: Peak der Neuinfektionen am frühsten (Tag 35)
  • Schweden Peak am spätesten (Tag 53)

Beispiel: Deutschland[Bearbeiten]

Ergebnis R Deutschland.png

Optimierung[Bearbeiten]

  • Verbesserte Anpassung der Kurve durch die Ableitung der Gompertz-Funktion (asymmetrische Sigmoidfunktion)


Ergebnis[Bearbeiten]

Tabelle Gompertzfunktion.png
  • Ergebnisse ähnlich wie in Tabelle davor
  • Schwedens Peak wird 4 Tage früher erreicht
  • Ausbreitungsgeschwindigkeit Italiens unterscheidet sich deutlicher von der Schwedens

Beispiel: Deutschland[Bearbeiten]

Gompertzfunktion Deutschland.png

Vergleich[Bearbeiten]

Gompi-Vergleich.png

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

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Literatur / Quellennachweis[Bearbeiten]

  1. https://imsc.uni-graz.at/keeling/modI_ss09/projekten/DzuburReicherSchmidEnd.pdf
  2. https://flexikon.doccheck.com/de/SIR-Modell
  3. https://niebert.github.io/wikiversity_files/index.html