Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Einführung Teilprojekt 3

Thema

• Vergleich der Infektionsverläufe des Covid-19 Virus in 4 ausgewählten Ländern
• SIR Modell
• dort getroffenen Maßnahmen zur Bekämpfung

Begründung der Länderauswahl

• Deutschland: Identifikation durch uns selbst
• Italien : sehr früh und sehr stark betroffen
• Schweden : meisten Maßnahmen waren freiwillig
• Südkorea : geringe Fallzahlen

SIR-Modell

Annahmen:

• $N$ konstant
• Interaktion innerhalb der Gruppen mit gleicher Wahrscheinlichkeit
• $S$ -> $I$ -> $R$
• Infizierte sind sofort ansteckend

Anfangsbedingungen:

• R₀=0
• I₀ >0, S₀ >0
• α > β

Differentialgleichungen des SIR-Modells

• $S'=-\alpha {\frac {SI}{N}}$, mit α: Infektionsrate

• $I'=\alpha {\frac {SI}{N}}-\beta I$, mit β: Sterberate

• $R'=\beta I$

Modellierung

Sekundarstufe I

Erstellen des SIR-Modells für die ausgewählten Länder mithilfe der Tabellenkalkulation

SIR-Modell TK

Modellerstellung mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms mit

• Zeit $t=t-1$ + Zeitschritt
• Infizierbare Personen $S_{t}=N-I_{t}-R_{t}$
• Infizierte über "next I": Nächstes I_t: Wenn ${\frac {S_{t}}{N}}$ < 1 und $I_{t}$* BRZ* ${\frac {S_{t}}{N}}$>0, dann $I_{t}$* BRZ_t* ${\frac {S_{t}}{N}}$. Sonst 0
• Genesene Personen $R_{t}=I_{t}+R_{t-1}$
• BRZ frei wählbar

Vorgehen

• 1. Recherchieren der realen Fallzahlen und Verläufe in dem jeweiligen Land
• 2. Anpassung von BRZ, bis modellierte Kurven mit den realen Kurven übereinstimmen
• 3. Modellieren, wie sich Verläufe verändern, wenn sich ab bestimmten Zeitpunkten die BRZ erhöhen/verringern

SIR - Schweden

SIR - Südkorea

SIR - Italien

SIR - Deutschland

Sekundarstufe II

• Verteilung des Corona-Virus zwischen den Ländern
• Integrierung einer Transportmatrix in das SIR-Modell

Grundlagen Matrizenrechnung

• lineares Gleichungssystem der Form $A*x=b$
• Matrizenmultiplikation nur wenn im Falle $A=lxm$ und $B=mxn$
• Beispielhafte Erklärung: $2x2$ Matrix $A$ und $2x1$ Vektor $b$

$\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}ax+by\\cx+dy\end{array}}\right)$

Anwendung auf Flugverkehr

$\left({\begin{array}{cc}a_{ii}&a_{ji}\\a_{ij}&a_{jj}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{i}\\x_{j}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x'_{i}\\x'_{j}\end{array}}\right)$

• $a_{ii}$ : Anteil der in Land i Bleibenden [%]
• $a_{ij}$ : Anteil der Reisenden von Land i nach Land j [%]
• Vektor $x$ : Einwohnerzahlen von Land i und Land j
• Vektor $x'$: Einwohnerzahlen der Länder nach Transportprozess

Abschätzung, wie viele Flugpassagiere von einem Land zum anderen fliegen:

• Annahme $a_{ij}$ = $a_{ji}$
• Berechnung $a_{ij}={\frac {n_{i}n_{j}}{n}}$ mit $n$ abfliegenden Personen pro Tag weltweit und $n_{k}$ abfliegenden Personen pro Tag des Landes $K$
• Flüge unabhängig von der Entfernung der Länder und der Zeit

Beispiel: Transportprozesse zwischen Schweden und Südkorea

$\left({\begin{array}{cc}1-{\frac {n_{i}n_{j}}{nS_{i}}}{\frac {S_{i}}{N_{i}}}&{\frac {n_{i}n_{j}}{nS_{j}}}{\frac {S_{j}}{N_{j}}}\\{\frac {n_{i}n_{j}}{nS_{i}}}{\frac {S_{i}}{N_{i}}}&1-{\frac {n_{i}n_{j}}{nS_{j}}}{\frac {S_{j}}{N_{j}}}\end{array}}\right)_{t}\left({\begin{array}{c}S_{i}\\S_{j}\end{array}}\right)_{t}=\left({\begin{array}{c}S'_{i}\\S'_{j}\end{array}}\right)_{t}$

$I$ und $R$ lassen sich analog bestimmen

$(S_{k})_{t}=N_{k}-(I_{k})_{t}-(R_{k})_{t}$

Matrixeinbindung in LibreOffice

"next I" _SW: $I_{t,SW}$ * BRZ * ${\frac {S_{t,SW}}{N_{SW}}}$ - ${\frac {n_{i}n_{j}}{n}}$* ( ${\frac {I_{t-1,SW}}{N_{SW}}}$ - ${\frac {I_{t-1,SK}}{N_{SK}}}$)

Infektionsgeschehen in Südkorea und Schweden im Transportmodell

midi

• Erste Infizierte Person in Schweden an Tag 46 (+/- 3 Tage)
• Infektionsgeschehen in Schweden schneller (15 Tage weniger bis Maximum)

midi

Uniniveau

Konzept

• Ziel: Funktion finden, die die Neuinfektionen abbildet
• Logistisches Wachstum über Bernoulli-DGL
• Graph der Lösung $f(t)$ der B.-DGL entspricht Kurve der kummulierten Infiziertenzahl
• Ableitung $f'(t)$ der Lösung $f(t)$ entspricht der Kurve der Neuinfektionen
• nichtlineare Regression in R Studio
• Vergleich der Länder über ausgegebene Parameter

Bernoullische Differentialgleichung

Einschub: $\;$ Bernoullische Differentialgleichung

• Eine DGL der Gestalt $f'(t)=kGf(t)-kf^{2}(t)$ lässt sich wie folgt lösen:

• $g(t)={\frac {1}{f(t)}}\Rightarrow g'(t)=-{\frac {f'(t)}{f^{2}(t)}}$

• $g'(t)=-{\frac {kGf(t)-kf^{2}(t)}{f^{2}(t)}}=-kGg(t)+k$

Lösung der Bernoullische Differentialgleichung

Lösen der homogenen DGL

• $g_{h}'(t)+kGg_{h}(t)=0$ ergibt

• $g_{h}(t)=g_{0}e^{-kGt+\delta }$ mit $\delta =kGc$ die partikulare Lösung ist

• $g_{p}(t)={\frac {k}{kG}}-{\frac {1}{G}}e^{-kGt+\delta }$ und mit $g(0)=g_{0}={\frac {1}{f_{0}}}={\frac {1}{f(0)}}$ ergibt sich:

• $g(t)={\frac {1}{G}}+\left({\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {1}{G}}\right)e^{-kGt+\delta }$
• Da $f(t)={\frac {1}{g(t)}}\Rightarrow f(t)={\frac {G}{1+({\frac {G}{fo}}-1)e^{-kGt+\delta }}}$

Parametisierung

• Durch Parametisierung $f(t)\;{\overset {allg.}{=}}\;\left({\frac {4A}{\alpha \left(1+e^{-\alpha (t-c)}\right)}}\right)$

• Beidseitige Ableitung der Bernoullische DGL:

$f'(t)=\left({\frac {4Ae^{-\alpha (t-c)}}{\left(1+e^{-\alpha (t-c)}\right)^{2}}}\right)$ ist eine Lösung der DGL $f''(t)=kGf'(t)-2kf(t)f'(t)$.

SIR: DGL

SIR-Modell

• Für das SIR-Modell werden drei DGL verwendet ($N=const.$):

• $S'=-\alpha {\frac {SI}{N}}$

• $I'=\alpha {\frac {SI}{N}}-\beta I$

• $R'=\beta I$

Es gilt $N=S+I+R=const.$

Lösung der DGL nach Näherung

Die DGL für die Infiziertenzahl lässt sich also wie folgt schreiben:

• ${\begin{cases}I'&=\alpha {\frac {(N-R-I)}{N}}I-\beta I=\left(\left(1-{\frac {R}{N}}\right)\alpha -\beta \right)I-{\frac {\alpha }{N}}I^{2}\\&=\left(\left(1-{\frac {\beta }{N}}\int Idt\right)\alpha -\beta \right)I-{\frac {\alpha }{N}}I^{2}\end{cases}}$

• Vernachlässigung des letzten Terms $\left(-{\frac {\alpha }{N}}I^{2}\right)$:

• $I'=(\alpha -\beta )I-{\frac {\alpha \beta }{N}}\int Idt\cdot I$

vergleiche $I(t)$ mit $f'(t)$; mit $f'(t)$ aus der Ableitung der B.-DGL

• $\left(I(t)=\left({\frac {4a\cdot k\cdot e^{-k(t-c)}}{\left(1+e^{-k(t-c)}\right)^{2}}}\right)\right)$

Modellierung der Infiziertenzahl

• nicht lineare Regression mit der Methode der kleinsten Quadrate
• Kurvenanpassung an (bspw. $n$) Werte durch Minimerung des Abstandquadrates der Messpunkte zu der Fitkurve über die Veränderung der Parameter:

$min{\underset {i=n}{\overset {n}{\sum }}}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}$
Minimum finden über $\left(2{\underset {n}{\sum }}(y_{i}-f(x_{i}))\right)f'(x_{i}){\overset {!}{\approx }}0$

• Schätzintervall für die Werte von $a,\;c$ und $k$ (Werte liegen zu $95\;\%$ darin)

• ${\frac {ak}{N}}$ : Schwere der Epidemie

• $k$ : Ausbreitungsgeschwindigkeit

• $c$ : Dauer zum vorläufigen Höhepunkt der Epidemie

Ergebnis

• Schwere der Pandemie in Italien am höchsten, in Südkorea am geringsten
• Südkorea höchste Ausbreitungsgeschwindigkeit
• Schweden geringste Ausbreitungsgeschwindigkeit
• Italien: Peak der Neuinfektionen am frühsten (Tag 35)
• Schweden Peak am spätesten (Tag 53)

Beispiel: Deutschland

Optimierung

• Verbesserte Anpassung der Kurve durch die Ableitung der Gompertz-Funktion (asymmetrische Sigmoidfunktion)

$I(t)=a\cdot b\cdot e^{\left(-e^{(-b\cdot (t-c)}-b\cdot (t-c)\right)}$

• Parameter analog zur vorherigen Funktion, nur $b$ durch $k$ ersetzt
• [Geogebra: Parametereinstellungen der Fitfunktion]

Ergebnis

• Ergebnisse ähnlich wie in Tabelle davor
• Schwedens Peak wird 4 Tage früher erreicht
• Ausbreitungsgeschwindigkeit Italiens unterscheidet sich deutlicher von der Schwedens

Beispiel: Deutschland

Vergleich

${\displaystyle }$

Siehe auch

• Vergleich der Länder - Theoretische Informationen
• SIR-Modell

Seiteninformation

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Mathematische Modellbildung' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Einf%C3%BChrung%20Teilprojekt%203
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.