Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Zyklus 2 Teilprojekt 1

Einführung in das Thema

Kurzvorstellung

Untersuchen der Luftqualität in Klassenräumen im Hinblick auf die Sitzordnung

im ersten Lockdown (März 2020) Schließungen von jeglichen Bildungseinrichtungen

Präsenzunterricht soll nicht mehr ausfallen

deshalb mittlerweile (seit Juni 2020) Hygiene-Konzepte, die neben den AHA-Regeln auch regelmäßiges Lüften vorsehen

aufgrund dieser Relevanz Thema dieses Projekts

Mathematische Aspekte

Fragestellung der Modellierung:

Wie gut werden verschiedenen Raumpunkte und Bereiche in einem Klassenzimmer gelüftet und was bedeutet dies für die Sitzordnung?

Bezug zur Mathematik

Modellierung auf verschiedenen Niveaus:

Sekundarstufe 1: elementare Geometrie
Sekundarstufe 2: analytische Geometrie
Universität: mehrdimensionale Analysis
verwendete Programme: Geogebra, Maxima

Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2

Ablauf eines Modellierungszyklus'

Einführung

Betrachtung des Klassenzimmers als dreidimensionaler Körper

⇒ Luftgüte ist jedem einzelnen Raumpunkt zuzuordnen

3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer

Vorläufiges Modell

Luftströme zwischen Tür und Fenster als schiefe Pyramidenstümpfe
inkl. zusätzlichem Teilstück um die Fenster und die Tür

⇒Annahme: Gesamter Pyramidenstumpf optimal belüftet

Abstand des Raumpunkts zur Oberfläche des äußersten Pyramidenstumpfes als Maß für die Luftqualität
berechenbar über das Lotfußpunktverfahren

Problematik

16 Ebenen und 36 Kanten, zu denen Abstand bestimmt werden könnte

⇒ Zuordnung und resultierende Berechnung wird zu komplex

Lösung des Problems

Betrachtung der Geraden zwischen den Schwerpunkten der Tür und der Fenster
Berechnung wird ohne Verlust an Aussagekraft vereinfacht, eher Verbesserung

⇒ realitätsnäher

nur Bereich der Gerade wird optimal belüftet, je weiter weg, desto schlechter

Überarbeitetes 3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer - https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4

[1]

Berechnung

Vorgehensweise (1)

Abstand des Punktes zu den Schwerpunktgeraden zwischen der Tür und den Fenstern als Indikator für Lüftungsqualität
Verwendung des Lotfußpunktverfahrens oder Abstand zwischen dem Schwerpunkt des jeweiligen Fensters und dem Raumpunkt
Abstände zu allen Strecken in Kombination werden betrachtet

Vorgehensweise (2)

Die Lüftungsgüte wird so normiert, sodass sie auf jede einzelne Strecke bezogen nur einen Wert zwischen Null und Eins erreichen kann
Eins ist optimale Lüftung, Null keine Lüftung
Die Lüftungsgüte der einzelnen Strecken werden addiert: Gesamtlüftungsgüte hat Werte zwischen Null und Vier

Beispielrechnung

1.

Berechnung vom Abstand von einem beliebigen Punkt $P$ zu allen Strecken, welche von der Tür zu einem der vier Fenster verlaufen

1.1

Abstand des Punktes $P$ zur Strecke $\epsilon$
Punkt $T$ sei der Mittelpunkt der Tür, Punkt $F_{4}$ der Mittelpunkt des vierten Fensters.
Gerade $e$ ist die Trägergerade der Strecke $\epsilon$

1.2

Geradengleichung von $e$ : ${\vec {x}}={\vec {T}}+\lambda \cdot ({\vec {F_{4}}}-{\vec {T}})$ .
Abstand von $P$ zu $e$ mithilfe des Lotfußpunktverfahrens.

1.3

Normalengleichung der Hilfsebene $h_{4}$ : $({\vec {P}}-{\vec {x}})\cdot ({\vec {F_{4}}}-{\vec {T}})={\vec {0}}$ (Skalarprodukt)
Schnittpunkt der Gerade $e$ und der Hilfsebene $h_{4}$ :
Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: $({\vec {P}}-({\vec {T}}+\lambda \cdot ({\vec {F_{4}}}-{\vec {T}})))\cdot ({\vec {F_{4}}}-{\vec {T}})={\vec {0}}$
Auflösen nach Parameter $\lambda$
Einsetzen in die Geradengleichung von $e$ ergibt den Lotfußpunkt $LF_{4}$ von $P$ auf $e$ .

Fallunterscheidung

Fall 1:

Lotfußpunkt $LF_{4}$ liegt innerhalb des Klassenzimmers $[0;9]$ x $[0;7]$ x $[0;3]$
Betrag des Vektors $|{\vec {P}}-{\vec {LF_{4}}}|$ ist Abstand von Punkt $P$ zur Strecke $\epsilon =|TF_{4}|$
Betrag berechnet sich durch: ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$
Es folgt: $|{\vec {P}}-{\vec {LF_{4}}}|={\sqrt {(P_{x}-LF_{4x})^{2}+(P_{y}-LF_{4y})^{2}+(P_{z}-LF_{4z})^{2}}}$ .

Fallunterscheidung

Fall 2:

Lotfußpunkt $LF_{4}$ liegt außerhalb des Klassenzimmers $[0;9]$ x $[0;7]$ x $[0;3]$
Abstand zur Trägergeraden entspricht nicht dem geringsten Abstand zur eigentlichen Strecke
Lage des Lotfußpunkts ist an dessen y-Koordinate zu erkennen
Ist y-Koordinate > 7, so befindet sich der Lotfußpunkt nicht mehr im Quader
Abstand von Punkt $P$ zum Schwerpunkt $F_{4}$ von Fenster 4: $|{\vec {P}}-{\vec {F_{4}}}|={\sqrt {(P_{x}-F_{4x})^{2}+(P_{y}-F_{4y})^{2}+(P_{z}-F_{4z})^{2}}}$

2.

Berechnung der Lüftungsqualität

2.1

Abstand muss sinnvoll normiert werden. Hierzu wurde folgende Gleichung gewählt: $L_{4}={1 \over {1+{s_{4}}^{2}}}$
$L_{4}$ ist Lüftungsqualität im Bezug zu Fenster 4
$s_{4}$ Abstand zu der Lüftungsgeraden von Fenster 4
Die Lüftungsgüte kann nur Werte im Bereich $(0,1]$ annehmen
Mit immer größer werdendem Abstand konvergiert Lüftungsqualität gegen Null
Quadrieren des Abstandes führt dazu, dass Abständen im Bereich $(0,1)$ um die Schwerpunktgeraden herum kleinere Werte zugeordnet werden

2.2

Insgesamt Lüftungsgüte $L_{gesamt}\in (0,4]$ : Summe der einzelnen Werte $L_{1}$ bis $L_{4}$ : $L_{gesamt}=L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}$
Lüftungsgüte von vier bedeutet eine ideale Lüftung