Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona und Motivation/Modellierungszyklus 2

Einleitung

Diese Seite kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.

Optimierung von Zyklus 1

Von linearer Interpolation zu glatter Interpolation
Stückweise Interpolation (über Sinus)
glätten der linearen Interpolation aus Zyklus 1

Zielgruppe

Lehrkräfte

Aufgaben für Lernende / Studierende

Auf Vorwissen der SuS zurückgreifen
Beispielsweise durch Fragestellungen
SuS mit der Sinus Formel arbeiten und verschieben lassen
Ähnlich zu Unterstufe, lin Fkt verschieben lassen

Mathematische Werkzeugeund benutzte Formeln

Glättung der linearen Interpolation durch stückweise Interpolation über Sinus Kurve

Herangehensweise über Programm ("Ausprobieren")

Punkte des Mittelwerts in Koordinatensystem eintragen
Sinus Standard Funktion Hinzufügen
So lange Schieben bis Verbindung vom ersten zum zweiten Punkt entsteht
Vorteil: Schieben von Funktionen in Geogebra kennen SuS bereits
Wenn Funktionsgraph gefunden dann an restlichen Stellen 0 setzen
Wiederholen und so ensteht glattere Interpolation

https://www.geogebra.org/classic/cqya3qgv

Mathematische Herleitung

Über Ausprobieren sieht man groben Verlauf der Interpolation
Parameter Stück für Stück herausfinden

Zur Interpolation von $n$ Stützstellen $(x_{j},y_{j})$ mit $j=0,...,n$ definiere:

$g:[x_{0};x_{n}]\to \mathbb {R} ,g(x)=\sum _{j=0}^{n-1}\,f_{j}(x)$

Die Funktion g interpoliert die Stützstellen

Herleitung über Sinus Kurve

Dabei ist $f_{j}(x)$ über eine verschobene und gestreckte, beziehungsweise gestauchte Sinusfunktion definiert als:

$f_{j}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f_{j}(x)={\begin{cases}{{y_{j+1}-y_{j}} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {x_{j+1}-x_{j}}}\cdot {(x-{{x_{j+1}+x_{j}} \over 2})}})+{{y_{j+1}+y_{j}} \over 2}&{\text{wenn}}&x_{j}\leq x\leq x_{j+1}\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$

Beispiel

Für die Stützstellen $(x_{0},y_{0})=(0,-0.2)$ und $(x_{1},y_{1})=(1,3.9)$ ist

$f_{0}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f_{0}(x)={\begin{cases}{{y_{1}-y_{0}} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {x_{1}-x_{0}}}\cdot {(x-{{x_{1}+x_{0}} \over 2})}})+{{y_{1}+y_{0}} \over 2}&{\text{wenn}}&x_{0}\leq x\leq x_{1}\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$