Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona und Motivation

Modellierungsproblem

Ziel der Modellierung

• Die Motivation der mathematischen Modellbildung ist,
• Zusammenhang Präsenzlehre und Schülermotivation (nach Mühlhausen (2008))
• Selektive Aufgabenformen für Lehrer/innen auf Abruf verfügbar

Zielgruppe der Modellbildung

• Sek I: Schüler- und Schülerinnen (Friday for Future)
• Sek II/Uni: Politik (Einhaltung der Klimaschutzziele)
• Sek II/Uni: Industrie/Verbraucher

Mehrwert der Modellbildung

• Schutz der erfolgreichen Lernstrategien für Schülermotivation beizubehalten
• Sicherung / Einschätzung für Schulen und Politik für künftige Inzidenzwerte
• Planung für Lehrkräfte

Gruppenmitglieder

• Friederike Reiter.

Wiki2Reveal

• Einführung
• Mathematische Grundlagen
• Implementation
• Bewertung der Modellbildung
• Modellierungszyklus 1
• Modellierungszyklus 2
• Modellierungszyklus 3 - (Foliensatz)

Zuordnung zu Nachhaltigkeitszielen

• SDG 7: Affordable an Clean Energy

Die Folgen des Klimawandels sind schon heute global spürbar. Aus diesem Grund ist es das Ziel bis zum Jahr 2030 hauptsächlich auf saubere und erneuerbare Energien zu setzen.

• SDG 9: Industry, Innovation and Infrastructure

Industrielle Standorte sind eine der größten Energiekonsumenten. Um eine nachhaltige Lösung und eine gesicherte Energiezufuhr zu garantieren benötigt es eine effiziente Planung von Stromnetzen und Speicherstätten.

• SDG 13: Climate Action

Die fortschreitende Digitalisierung und die aufkommende E-Mobilität sind unteranderem Gründe für einen steigenden Strombedarf. Erneuerbare Energien sind hierbei ein wichtiger Faktor, um diesen Strombedarf zu decken und gleichzeitig das Klima zu schützen.

Modellierungszyklen

Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1

• Modellierung der Auswirkungen von Corona auf das Schulsystem: heranführen über Motivation
• Umfrage SuS tabellarisch festhalten
• An konkreten Fall linearen Verlauf darstellen
• Motivation darstellen (bsp von -5 bis 5, 0 neutral in 1/4 jährlichen Abständen
• Begründungen für Werte mit einbauen

Einleitung

Als exemplarisches Beispiel unserer Modellierung haben wir uns an einer 6. Klasse eines Gymnasiums orientiert. Diese Klasse besteht aus 22 Schüler/innen. Davon 14 Mädchen und 8 Jungs. In unserem ersten Modellierungszyklus zeigen wir zunächst die Ergebnisse unserer Umfrage in der Klasse. Diese stellt den Schüler/innen die Frage, in wie fern ihr Motivation größer oder geringer während des Online-Lernens war. Die Motivation soll bestenfalls schwanken bezüglich verschiedenen Unterrichtsmethoden, die während des Unterrichts zu Hause von der Lehrkraft angeboten wurden. Diese Umfrage wird 1/4 jährlich wiederholt also haben wir insgesamt 4 Tabellen aus welche sich 4 Graphen linear darstellen lassen. Nach der Erarbeitungsphase haben wir mit den Schüler/innen nach möglichen Gründen für die Verläufe der Kurven gesucht und sind dabei auf vielseitige Antworten gestoßen.

1. Phase

Im ersten Viertel des Jahres war noch alles neu sowohl für Schüler/innen als auch die Lehrer/innen war es eine völlige Umstellung von der präsenten Lehre zur Online Lehre. In der ersten Phase hat man versucht von der Methodik so nah wie möglich am Unterricht in der Präsentlehre zu bleiben allerdings verschränkt. Die Lehrkraft hat das Unterrichtsmaterial vorgestellt und Fragen zum Arbeitsauftrag beantwortet, dann gab es eine Arbeitsphase in der die Schüler/innen diesen bearbeitet haben und anschließend eine gemeinsame Besprechung und Diskussion über die Aufgaben.

Gründe für die Kurve

• Anfänglich die Motivation durchschnittlich da ja auch noch niemand wusste wie / wo / wann es weitergeht
• Arbeitsphase motiviert Schüler/innen Aufgaben zu bearbeiten um sie im Anschluss auch präsentieren zu können
• Stehen noch neutral zur neuen Lage, teils auch schon negativ da es demotiviert vor dem Laptop zu sitzen ohne ein soziales Miteinander

2. Phase

In der zweiten Phase wird dann versucht, aus dem klassischen Arbeitsauftrag- Unterricht hinaus zu kommen und ein aktives Miteinander zu gestalten, um die Motivation der Schüler/innen während der Onlinephase aufrecht zu erhalten. Hierzu wird die Klasse in 2 Fünfer und 2 Sechser Gruppen eingeteilt und es gibt eine gemeinschaftliche Stationenarbeit , in welche die Schüler/innen in verschiedene virtuelle Räume zugelost werden und somit auch wieder die Möglichkeit haben, sich frei von der Lehrkraft auf verschiedene einzelne Aufgabenbereiche konkret zu fokussieren.

Gründe für Kurve

• Hohe Motivation da Schüler/innen "unter sich" sind und auch gemeinsam erarbeiten können
• Statt mehrerer Aufgaben Fokus auf einen bestimmten Arbeitsbereich
• Soziale Kommunikation und gemeinsames Erarbeiten steigert Motivation

3. Phase

In der dritten Phase wurde ebenfalls eine neue Unterrichtsmethode angewendet. Die Schüler/innen werden in 2 "Seiten" aufgeteilt. Also 11 Schüler/innen auf der einen und 11 Schüler/innen auf der anderen Seite. Beide Seiten erhalten ein Thema bzw. eine Einführung in ein Thema (Beispielsweise Brüche addieren und Brüche subtrahieren bzw. multitplizieren und dividieren. Beide Seiten erstellen jeweils eine Präsentation mit anschließendem Arbeitsblatt für die andere Seite zusammen und sollen dies dann nach der Bearbeitungszeit präsentieren. Hierbei soll ebenfalls der soziale Kontakt gefördert werden da sich dies sehr positiv auf die Schülermotivation ausgeübt hat.

Gründe für Kurve

• Hohe Motivation da Schüler/innen wieder gemeinsam arbeiten können
• Weniger als zuvor da Schüler/innen teils die Gruppengröße zu groß ist und daher viel Ablenkung aufkommt
• Man verlässt sich auf "leistungsstarke" Schüler/innen und andere können sich zurückziehen / vor der Aufgabe teils drücken daher Schwankungen: für gute Schüler/innen schlecht , für nicht so gute sehr gut

4. Phase

Man kann diese auch "Spielerische Phase" nennen, da es nun in einer Art Quiz darum geht, das Wissen der Schüler/innen zu prüfen. Dies ist auch eine gute Gelegenheit für den Lehrer, sich über den Wissensstand der einzelnen Schüler/innen zu erkundigen. In kleinen interaktiven Spielen und Rechnungen sollen die Schüler/innen ihr Wissen zu der aktuellen Thematik aber auch vorheriger Thematik unter Beweis stellen.

Gründe für Kurve

• Man sieht eine positive aber teils auch negative Kurve
• Leistungsstarke Schüler/innen könne hier punkten wo hingegen leistungsschwächere sich unter Druck gesetzt fühlen können
• Konkurrenzmotivation kann sich positiv und negativ auswirken

Gemeinsames Verhalten

• Anhand der Balken ablesbar welche Phase besser /schlechter gelaufen ist
• Am besten wenn viele Balken im guten Mittelbereich sind
• Nicht gut: deutliche Schwankungen nach unten (oben)
• Auch möglich: nur zwei vergleichen

Datei Gemeinsames Balkendiagramm

Arithmetischer Mittelwert

Das arithmetische Mittel ist die Summe der gegebenen Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

${\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}$

Beispiel

• Für Phase 1 berechnet sich der Mittelwert also wie folgt:
• ${\bar {x}}_{\mathrm {Phase1} }={\frac {1+0+(-2)+1+1+0+0+0+0+1+1+0+(-1)+0+0+(-1)+(-1)+(-2)+0+0+(-1)+(-1)+0}{22}}$

Hier: Bedeutung Werte Mittelwert

• Ergebnis richtet sich nach Ergebnis der Motivationsumfrage
• -5: schlecht geeignet
• 0: neutral
• 5: gut geeignet

Ergebnisse Mittelwerte

• Phase 1: -0,2272727273 gerundet: -0,2
• Phase 2: 3,9445454545 gerundet: 3,9
• Phase 3: 2,3636363636 gerundet: 2,4
• Phase 4: 2,6363636364 gerundet: 2,6

Lineare Interpolation - Idee

• Wir haben hier die Punkte der Mittelwerte gegeben
• Lineare Interpolation wenn uns Werte zwischen den Punkten interessieren
• Lineare Interpolation stellt Gerade zwischen 2 bekannten Punkten auf
• Stützpunkte $(x_{1},\,y_{1}),...,(x_{n},\,y_{n})$
• $x_{1},...,x_{n}$ sind die einzelnen Phasen, $y_{1},...,y_{n}$ die Mittelwerte der Motivation
• Frage: Welche Werte beträgt die Motivation zwischen den Punkten
• Modellierung: stückweise Lineare Interpolation als Approximation dieser Werte?

Stückweise durchgeführte lineare Interpolation

Lineare Interpolation: mathematische Bedeutung

• Lineare Interpolation stellt Gerade zwischen 2 bekannten Punkten auf
• nutze hier zu die Zweipunkteform einer Geradengleichung:
• Die Punkte $(x_{1},\,y_{1})$ und $(x_{2},\,y_{2})$ werden im Intervall $[x_{1},x_{2}]$ also interpoliert durch:
• :$y=y_{1}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,(x-x_{1})$

Detaillierte Erläuterungen siehe Allgemeine lineare Interpolation.

Beispiel

• $(x_{1},\,y_{1})=(0,\ -0.2)$ und $(x_{2},\,y_{2})=(1,\ 3.9)$ sind je die gegeben Punkte mit deren Koordinaten
• Im Intervall $[0,1]$ ist die lineare Interpolation also:
• :$y=-0.2+{\frac {3.9-(-0.2)}{1-0}}\,(x-0)=-0.2+4.1\cdot x$
• Dabei ist $-0.2$ der y-Achsenabschnitt und $4.1$ die Steigung der Funktion

• Bedeutung:
• $(x_{1},\,y_{1})und(x_{2},\,y_{2})$ sind je die gegeben Punkte mit deren Koordinaten
• x ist der Wert auf der X-Achse, der mich interessiert

Lineare Interpolation der Mittelwerte

• Nutzung der linearen Interpolation mit Veranschaulichung der errechneten Mittelwerte

Mathematische Werkzeuge

• Balkendiagramme
• Mittelwert
• Lineare Interpolation

Optimierung

• Lineare Interpolation nicht so gut geeignet (vermutlich Schwankungen)
• Vermutung besser: Glatte Inerpolation da Kurven Verlauf realistischer

Optimierung von Zyklus 1

• Von linearer Interpolation zu glatter Interpolation
• Stückweise Interpolation (über Sinus)
• glätten der linearen Interpolation aus Zyklus 1

Zielgruppe

• Lehrkräfte

Aufgaben für Lernende / Studierende

• Auf Vorwissen der SuS zurückgreifen
• Beispielsweise durch Fragestellungen
• SuS mit der Sinus Formel arbeiten und verschieben lassen
• Ähnlich zu Unterstufe, lin Fkt verschieben lassen

Mathematische Werkzeuge und benutzte Formeln

• Glättung der linearen Interpolation durch stückweise Interpolation über Sinus Kurve

Herangehensweise über Programm ("Ausprobieren")

• Punkte des Mittelwerts in Koordinatensystem eintragen
• Sinus Standard Funktion Hinzufügen
• So lange Schieben bis Verbindung vom ersten zum zweiten Punkt entsteht
• Vorteil: Schieben von Funktionen in Geogebra kennen SuS bereits
• Wenn Funktionsgraph gefunden dann an restlichen Stellen 0 setzen
• Wiederholen und so entsteht glattere Interpolation

Mathematische Herleitung

• Über Ausprobieren sieht man grob den Verlauf der Interpolation
• Parameter stück für stück herausfinden

• Zur Interpolation von $n$ Stützstellen $(x_{j},y_{j})$ mit $j=1,...,n$ definiere:

$g:[x_{1};x_{n}]\to \mathbb {R} ,g(x)=\sum _{j=1}^{n-1}\,f_{j}(x)$

• Die Funktion g interpoliert die Stützstellen

Herleitung über Sinus Kurve

• Dabei ist $f_{j}(x)$ über eine verschobene und gestreckte, beziehungsweise gestauchte Sinusfunktion definiert als:

$f_{j}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f_{j}(x)={\begin{cases}{{y_{j+1}-y_{j}} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {x_{j+1}-x_{j}}}\cdot {(x-{{x_{j+1}+x_{j}} \over 2})}})+{{y_{j+1}+y_{j}} \over 2}&{\text{wenn}}&x_{j}\leq x\leq x_{j+1}\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$ Datei:Glatte Interpolation mit Bsp.jpg

Beispiel

Für die Stützstellen $(x_{0},y_{0})=(0,-0.2)$ und $(x_{1},y_{1})=(1,4)$ ist

$f_{0}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f_{0}(x)={\begin{cases}{{y_{1}-y_{0}} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {x_{1}-x_{0}}}\cdot {(x-{{x_{1}+x_{0}} \over 2})}})+{{y_{1}+y_{0}} \over 2}&{\text{wenn}}&x_{0}\leq x\leq x_{1}\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$

$={\begin{cases}{{4-(-0.2)} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {1-0}}\cdot {(x-{{1+0} \over 2})}})+{{4+(-0.2)} \over 2}&{\text{wenn}}&0\leq x\leq 1\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$

$={\begin{cases}{{4.2} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {1}}\cdot {(x-{{1} \over 2})}})+{{3.8} \over 2}&{\text{wenn}}&0\leq x\leq 1\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$

Benutzte Programme

• Geogebra zur Implementierung der Funktion
• Man kann hier Funktion verschieben

Optimierung

• Hier nur mit den Mittelwerten gearbeitet
• ggf. auch andere Stützstellen bei anderen Werten
• Verfahren finden um dies gut variieren zu können: Newton

Zielsetzung

• bislang lokales Minimum und Maximum immer an den Messwerten
• ggf gibt es noch andere außerhalb dieser Werte
• dazu Polynominterpolation (leicht zu integrieren und abzuleiten)

Zielgruppe

• Studierende

Aufgaben für Lernende / Studierende

• Polynominterpolation
• Newton Algorithmus (Lagrange deutlich aufwendiger)

Vorteile Newton > Lagrange

• Lagrange deutlich aufwendiger
• Bei neuer Stützstelle: Newton erweitern
• Bei neuer Stützstelle: Lagrange von vorne berechnen

Newton Algorithmus

• gerundete Mittelwerte bilden die Stützpunkte
• über Newton Algorithmus berechnen sich das Interpolationspolynom zu den Stützstellen
• Stützstellen:

• $(x_{0},y_{0})=(0,-0.2)$

• $(x_{1},y_{1})=(1,3.9)$

• $(x_{2},y_{2})=(2,2.4)$

• $(x_{3},y_{3})=(3,2.6)$

Umsetzung Newton Algorithmus

Interpolationspolynom über Geogebra

Interpolationspolynom:

$P(x)=-0.2+4.1\cdot (x-0)+(-2.7)\cdot (x-0)\cdot (x-1)+{3.25 \over 3}\cdot (x-0)\cdot (x-1)\cdot (x-2)$

Darstellung Ausblick

• Nicht immer so schön wie in dieser Modellierung
• Oftmals Ausreißer nach oben/ unten an den Randwerten

• unerwarteter Verlauf der Funktion

Potential der Interpolation

• Praktisch für Erweiterung an dieser Stelle Zyklus 3
• zum Integrieren deutlich leichter
• Leichter, Stammfunktion zu bilden über Polynominterpolation
• Integration zwischen den Funktionswerten
• Erweitern mit Lagrange Verfahren bei festen Stützstellen, sonst sehr aufwendig

Optimierung / Ausblick

• Doch wieder auf stückweise Interpolation zurückgreifen
• Dadurch weniger Ausreißer

Programme

• Geogebra

Software

• R-Studio

Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen

Zyklus 1: Sekundarstufe I

• Mathematische Theorie: Lineare Interpolation, Tabellendarstellung
• Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Geogebra,

Zyklus 2: Sekundarstufe II

• Mathematische Theorie: Glatte Interpolation
• Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Geogebra

Zyklus 3: Uni-Niveau

• Mathematische Theorie: mehrdimensionale Interpolation, Fehlerberechnung
• Implementation des Modells mit:?? Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ...