Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona und Motivation/Modellierungszyklus 3

Einleitung

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Zielsetzung

• bislang lokales Minimum und Maximum immer an den Messwerten
• ggf gibt es noch andere außerhalb dieser Werte
• dazu Polynominterpolation (leicht zu integrieren und abzuleiten)

Zielgruppe

• Studierende

Aufgaben für Lernende / Studierende

• Polynominterpolation
• Newton Algorithmus (Lagrange deutlich aufwendiger)

Vorteile Newton > Lagrange

• Lagrange deutlich aufwendiger
• Bei neuer Stützstelle: Newton erweitern
• Bei neuer Stützstelle: Lagrange von vorne berechnen

Newton Algorithmus

• gerundete Mittelwerte bilden die Stützpunkte
• über Newton Algorithmus berechnen sich das Interpolationspolynom zu den Stützstellen
• Stützstellen:

• $(x_{0},y_{0})=(0,-0.2)$

• $(x_{1},y_{1})=(1,3.9)$

• $(x_{2},y_{2})=(2,2.4)$

• $(x_{3},y_{3})=(3,2.6)$

Umsetzung Newton Algorithmus

Verglichen mit Lagrange

Interpolationspolynom über Geogebra

Interpolationspolynom:

$P(x)=-0.2+4.1\cdot (x-0)+(-2.7)\cdot (x-0)\cdot (x-1)+{3.25 \over 3}\cdot (x-0)\cdot (x-1)\cdot (x-2)$

Darstellung Ausblick

• Nicht immer so schön wie in dieser Modellierung
• Oftmals Ausreißer nach oben/ unten an den Randwerten

• unerwarteter Verlauf der Funktion

Potential der Interpolation

• Praktisch für Erweiterung an dieser Stelle Zyklus 3
• zum Intergrieren deutlich leichter
• Leichter, Stammfunktion zu bilden über Polynominterpolation
• Integration zwischen den Funktionswerten
• Erweitern mit Lagrange Verfahren bei festen Stützstellen, sonst sehr aufwendig

Zusammenfassung

• Frage: Wie verläuft die Motivation von SuS in verschiedenen Phasen (während verschiedenen Unterrichtsmethoden) während Corona
• Ausgangslage: 4 Malige Datenerhebung (Umfrage) und davon ihre errechneten Mittelwerte

Zyklus 1

• stückweise lineare Interpolation (über Zweipunkteform)
• Problem: abgehakt, eher unrealistisch

Zyklus 2

• stückweise Interpolation über Sinus (trigonometrisch)
• Problem: Min/Max immer an den Stützstellen

Zyklus 3

• Interpolationspolynom über Newton Algorithmus
• Polynomfunktion
• Problem: neigt zu Ausreißern

Optimierung / Ausblick

• Doch wieder auf stückweise Interpolation zurückgreifen
• Dadurch weniger Ausreißer
• Funktion Minima Maxima lokal bestimmen für genauere Motivationsinformation
• Motivationsverlauf
• Auch Wendestellen; f'(x) f(x)
• stückweise kubische Spline Interpolation

Programme

• Geogebra

Siehe auch

• Wiki2Reveal

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