Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sport - Elfmeterschießen/Modellierungszyklus 1

Einfache Theorie des Elfmeters

• Nehmen wir an der Schütze trifft immer das Tor und wir haben das Tor in drei gleich große Teile aufgeteilt: Links, Mitte, Rechts.
• Der Torwart hat also eine geringe Chance den Elfmeter zu halten, diese liegt bei ⅓ sprich 33,3%.
• Somit erzielt der Schütze mit einer Wahrscheinlichkeit von ⅔ einen Treffer, sprich 66,6%.

Einteilung in 9 Felder

• Einteilung in 9 Felder
• Das Tor ist somit in unterteilt in: links unten(LU), linksmitte(LM), linksoben(LO), mitte unten(MU), mitte mitte (MM), mitte oben (MO), rechts unten (RU), rechts mitte (RM), rechts oben (RO)
• Torwart deckt 1/9 der Torfläche ab
• Die Trefferwahrscheinlichkeit erhöht sich für die Schützen auf 8/9, sprich etwa 88,89%.

Flächenansatz für den Torwart

Das Tor hat nach der offiziellen Norm des DFB eine Breite von von 7,32m und eine Höhe von 2,44m. Somit ergibt sich für die Torfläche, die getroffen werden kann, folgende Rechnung;

 $7,32m*2,44m=17,86m^{2}$

Fläche des Torwarts

• Armspannweite entspricht ca. der Körpergröße. Beispielsweise 1,88 Meter
• Schulterhöhe ungefähr 30 cm weniger als die Körpergröße → 1,58m
• Abgedeckte Fläche: Rechteck der Schulterhöhe x Armspannweite + Halbkreis mit Radius 0,94m
  

$1,58m*1,88m+{\tfrac {1}{2}}*(0,94)^{2}*\pi =4,3583556344m^{2}$

Der Prozentsatz, der also von einem Torwart abgedeckt werden kann liegt bei:

 ${\tfrac {4,3583556344m^{2}}{17,86m^{2}}}=0,2440288709$, also etwa $25\%$

Datenerhebung & Ergebnisse

Die im Folgenden betrachteten Daten wurden selbst ausgeführt, gesammelt und ausgewertet.

Ergebnisse

In der Sekundarstufe 1 wird zunächst ein Histogramm über die absoluten Häufigkeiten erstellt. Es werden hier erst einmal nur die Anzahl aller Schüsse, sowie die der getroffenen und gehaltenen Elfmeter berücksichtigt. Insgesamt wurden 201 Elfmeter geschossen.

Ergebnisse

Es ist zu sehen, dass die absolute Häufigkeit je nach angeschossenem Torfeld variiert. Somit werden mehr Schüsse in den Ecken getroffen und in den mittleren Torfeldern gehalten. Das führt zu folgenden relativen Häufigkeiten

Auswertung

• Hohe Trefferwahrscheinlichkeit in den Ecken
• Hervorzuheben sind Rechts-Unten und Links-Unten mit über 90 %
• Insgersamte Wahrscheinlichkeit: 70,14925373 %

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