Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sport - Elfmeterschießen/Modellierungszyklus 2

Stochastische Kenngrößen

• Erwartungswert: E(Z) = n • p
• Varianz: V(Z) = n • p • (1-p)
• Standardabweichung: σ(Z) = ${\sqrt {V(Z)}}$ ∈ [0, ∞)

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Horizontale und vertikale Aufteilung

Erkenntnisse von vertikaler Aufteilung

- Hohe Trefferwahrscheinlichkeit links (82,1%) und rechts (80,6%)
- In der Mitte lediglich 47,8 %

Erkenntnisse von horizontaler Aufteilung

- Hohe Trefferwahrscheinlichkeit bei flachen Schüssen mit 77,9 %
- Niedriger hingegen bei hohen (65,4 %) und mittleren (65,3 %) Schüssen

Binomialverteilung

Für die Darstellung der Binomailverteilung greifen wir auf unserer gesamten Daten zurück und betrachten die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unabhängig von der Torfläche. Somit haben wir eine Versuchszahl von 201 Schüssen und eine Wahrscheinlichkeit von 0,701.

n ∈ ℕ (Versuchszahl) und p ∈[0, 1] (Wahrscheinlichkeit), falls Z(Ω) = {0,…,n}:

P(Z = k) = ${\binom {n}{k}}$ •p^k • (1-p)^n-k für alle k ∈ {0,…,n}

Grafische Darstellung der Binomialverteilung

Approximation der Binomialverteilung mit der Normalverteilung

Um hier die σ-Regeln der Normalverteilung anwenden zu können, approximieren wie diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung. Die Approximation sieht grafisch folgendermaßen aus:

σ-Regeln der Normalverteilung

Durch die Approximierung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung lassen sich die σ-Regeln anwenden. Dafür betrachten wir Erwartungswert μ, Standardabweichung σ und die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer.
μ = 140,901
σ = 6,488
p = 0,701

σ-Intervalle

- 1σ-Intervall = 140,901 ± 1 • 6,488 = [134,41 ; 147,39]
Das bedeutet bei unserer Wahrscheinlichkeit für einen Treffer von 0,701: P (|Z-140,901| ≤ 1•6,488) = ≈ 0.6827

- 2σ-Intervall = 140,901 ± 2 • 6,488 = [127,93 ; 153,88]
Das bedeutet bei unserer Wahrscheinlichkeit für einen Treffer von 0,701: P (|Z-140,901| ≤ 2•6,488) ≈ 0.9545

- 3σ-Intervall = 140,901 ± 3 • 6,488 = [121,44 ; 160,37]
Das bedeutet bei unserer Wahrscheinlichkeit für einen Treffer von 0,701: P (|Z-140,901| ≤ 3•6,488) ≈ 0.9973

Grafische Darstellung der σ-Intervalle

Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist dabei auf ganz $\mathbb {R}$ definiert. Inhaltlich ist der Definitionsbereich für ein Tor oder für Treffer für eine Dichtefunktion allerdings kleiner, also z.B. $[0,b]\subset \mathbb {R}$, wobei $b$ die Breite des Tores ist. Eine Dichtefunktion für ein Tor kann auch eine Teilmenge von $\mathbb {R} ^{2}$ sein, wobei das Tor als ein Kreuzprodukt von zwei Intervallen beschrieben wird und eine Dichtefunktion für ein Tor auf $[0,b]\times [0,h]\subset \mathbb {R} ^{2}$ definiert wird ($b$ die Breite des Tores und $h$ die Höhe des Tores. Die Wahrscheinlichkeitsdichte zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Dichtefunktion auf dem Definitionsbereich. Daher ist zu klären wie aus einer Normalverteilung auf ganz $\mathbb {R}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte für eine kompakte Teilmenge von $\mathbb {R}$ entsteht.

Weiterführung des Modells

• bisherige Voraussetzung: Torwart und Schütze suchen sich jeweils eins der neun Felder aus und der Schütze trifft, falls sie nicht das gleiche Feld ausgewählt haben
• nun: beliebiger Treffpunkt im Tor
• weitere Faktoren: Bewegungsgeschwindigkeit des Torwarts, Entfernung Torwart zu Treffpunkt, Geschwindigkeit des Balls, Entfernung Elfmeterpunkt zu Treffpunkt

Berechnung der notwendigen Geschwindigkeit des Balles für einen sicheren Treffer

• Betrachtung der Schussgeschwindigkeit
• je nach Treffpunkt unterschiedliche Schussgeschwindigkeit für einen sicheren Treffer nötig
• nötige Schussgeschwindigkeit abhängig von oben genannten Faktoren
• Vermutung: je größer die Entfernung zwischen Torwart und Treffpunkt, desto geringer die nötige Schussgeschwindigkeit

Abstand zum Tor des Balls

1. Treffer in die Mitte der neun Felder

• zur Herleitung der Abstandsformel von Elfmeterpunkt zu Treffpunkt: die Mittelpunkte der neun Felder als Beispiel
• Fußballtor wird im Raum betrachtet, mit dem linken unteren Eck im Koordinatenursprung

Beispielrechnung:
${\overline {QS}}={\overline {s-q}}={\Bigg |}{\begin{pmatrix}11\\3.66\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1.22\\2.03\end{pmatrix}}{\Bigg |}$
$={\sqrt {(11-0)^{2}+(3.66-1.22)^{2}+(0-2.03)^{2}}}=11.45$

2. Allgemeine Formel zur Berechnung der Entfernung des Treffpunkts zum Elfmeterpunkt

  ${\overline {TS}}={\overline {s-t}}={\Bigg |}{\begin{pmatrix}11\\3.66\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\Bigg |}={\sqrt {(11-x)^{2}+(3.66-y)^{2}+(0-z)^{2}}}$

3. Zeit bis zum Treffer

• Berechnung der Zeit möglich, die der Ball bis zum Tor benötigt
• abhängig von Geschwindigkeit und Entfernung
• es gilt: $t={\tfrac {s}{v}}$
• Berechnung der Gleichung mittels WXMaxima: Geschwindigkeit des Balls und Treffpunkt können festgelegt werden

4. Entfernung des Torwarts zum Treffpunkt

• Zeit, die der Torwart bis zu einem Treffpunkt benötigt, berechnen
• dazu zunächst: Entfernung Torwart zu Treffpunkt notwendig
• Vereinfachung des Problems: Torwart hält den Ball nur mit den Händen, die sich zu Beginn an H1 und H2 befinden
• Berechnung der minimalen Entfernung der Hände zum Treffpunkt
• Festlegung: Torwart hält die Hände neben seinem Körper auf 1m Höhe und steht in der Mitte

4. Entfernung des Torwarts zum Treffpunkt

4. Entfernung des Torwarts zum Treffpunkt

$|TWzuTP|=min({\overline {TH_{1}}},{\overline {TH_{2}}})={\begin{cases}{\Bigg |}{\begin{pmatrix}0\\3.41\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\Bigg |}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\Bigg |}{\begin{pmatrix}0\\3.91\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\Bigg |}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

5. Zeit des Torwarts bis zum Treffpunkt

• jedem Punkt T(x|y|z) kann nun eine zu überschreitende Geschwindigkeit zugeordnet werden, die zu einem sicheren Treffer notwendig ist
• zunächst ist die Zeit des Torwarts bis zu einem beliebigen Treffpunkt notwendig (Festlegung: Torwart kann sich mit 4 m/s fortbewegen)

$t_{Torwart}={\tfrac {s_{Torwart}}{v_{Torwart}}}={\tfrac {|TWzuTP|}{v_{Torwart}}}{\begin{cases}{\Bigg |}{\tfrac {{\begin{pmatrix}0\\3.41\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}{4}}{\Bigg |}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\Bigg |}{\tfrac {{\begin{pmatrix}0\\3.91\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}{4}}{\Bigg |}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

5. Zeit des Torwarts bis zum Treffpunkt

• Voraussetzung: Torwart reagiert auf den Schuss und antizipiert die Ballrichtung nicht

$t_{Torwart}={\tfrac {s_{Torwart}}{v_{Torwart}}}={\tfrac {|TWzuTP|}{v_{Torwart}}}{\begin{cases}{\Bigg |}{\tfrac {{\begin{pmatrix}0\\3.41\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}{v_{Torwart}}}{\Bigg |}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\Bigg |}{\tfrac {{\begin{pmatrix}0\\3.91\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}{v_{Torwart}}}{\Bigg |}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

6. Geschwindigkeit, die der Ball für einen sicheren Treffer überschreiten muss

• Vergleich: Zeit des Torwarts bis zum Treffpunkt und Zeit des Balls bis zum Treffpunkt
• für ein sicheres Tor: $t_{Ball}$ < $t_{Torwart}$

Daraus ergibt sich nun folgende Ungleichung, die nach der Geschwindigkeit des Balles umgestellt werden kann:

$t_{Ball}$ < $t_{Torwart}\;\!\iff {\tfrac {s_{Ball}}{v_{Ball}}}<{\tfrac {s_{Torwart}}{v_{Torwart}}}\;\!\iff v_{Ball}>{\tfrac {s_{Ball}}{\tfrac {s_{Torwart}}{v_{Torwart}}}}$
$\;\!\iff v_{Ball}>{\begin{cases}{\tfrac {\sqrt {(11-x)^{2}+(3.66-y)^{2}+(0-z)^{2}}}{\tfrac {\sqrt {(0-x)^{2}+(3.41-y)^{2}+(1-z)^{2}}}{v_{Torwart}}}}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {(11-x)^{2}+(3.66-y)^{2}+(0-z)^{2}}}{\tfrac {\sqrt {(0-x)^{2}+(3.91-y)^{2}+(1-z)^{2}}}{v_{Torwart}}}}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

6. Geschwindigkeit, die der Ball für einen sicheren Treffer überschreiten muss

• abhängig vom Treffpunkt und der Bewegungsgeschwindigkeit des Torwarts
• Bewegungsgeschwindigkeit sollte vorab gegeben sein
• Tor steht in der y,z-Ebene: x-Koordinate des Treffpunkts immer Null

 $v_{Ball}>{\begin{cases}{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+(0-z)^{2}}}{\tfrac {\sqrt {(3.41-y)^{2}+(1-z)^{2}}}{v_{Torwart}}}}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+(0-z)^{2}}}{\tfrac {\sqrt {(3.91-y)^{2}+(1-z)^{2}}}{v_{Torwart}}}}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

6. Geschwindigkeit, die der Ball für einen sicheren Treffer überschreiten muss

Beispiel zur Veranschaulichung:

• Festlegung der Bewegungsgeschwindigkeit auf 4 m/s und Treffpunkt $T_{1}(0|1|2)$

 $v_{Ball}>{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+(0-z)^{2}}}{\tfrac {\sqrt {(3.41-y)^{2}+(1-z)^{2}}}{v_{Torwart}}}}={\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-1)^{2}+(0-2)^{2}}}{\tfrac {\sqrt {(3.41-1)^{2}+(1-2)^{2}}}{4}}}=17.62m/s=63.43km/h$

• zu überschreitende Geschwindigkeit für Festlegungen: 63.43 km/h
• höhere Bewegungsgeschwindigkeit: höhere Schussgeschwindigkeit nötig (analog bei niedrigerer)
• Übereinstimmung des Treffpunktes mit einem der Handpunkte: Bruch innerhalb der Ungleichung nicht definiert

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