Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sport - Elfmeterschießen/Modellierungszyklus 3

Ziel des dritten Modellierungszyklus

• Darstellung der Formel aus dem zweiten Modellierungszyklus in einem Koordinatensystem
• Erweiterung des Modells mithilfe mehrerer Faktoren, die in der Realität eine Rolle spielen
• Darstellung der erarbeiteten Funktion in einem Koordinatensystem
• Darstellung einer sogenannten Heatmap für die zu überschreitenden Geschwindigkeiten

Darstellung der Funktion aus Zyklus 2

Darstellung der Funktion aus Zyklus 2

Erläuterung der Abbildung

• zu überschreitende Geschwindigkeit vor allem im Bereich der Handpunkte schnell gegen unendlich
• Symmetrie zu erkennen, wobei die senkrechte Gerade durch die Mitte des Tors prinzipiell die Spiegelachse bildet
• zu überschreitende Geschwindigkeiten werden geringer, je weiter sie von den Handpunkten entfernt sind

Position der Hände abhängig von den Körpermaßen

• Angabe der Handpunkte in Abhängigkeit von den Körpermaßen
• je nach Köprergröße und Körperbau sind die Positionen der beiden Hände unterschiedlich
• Annahme: Hände neben dem Torwart auf Hüfthöhe
• $H_{1}={\begin{pmatrix}0\\3.66-({\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}+0.1)\\h_{Schritt}\end{pmatrix}}$
• $H_{2}={\begin{pmatrix}0\\3.66+({\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}+0.1)\\h_{Schritt}\end{pmatrix}}$
• Nutzung von $H_{1}$, falls $y\leq 3.66$
• Nutzung von $H_{2}$, falls $y>3.66$

Strecke des Torwarts

 $s_{Torwart}={\begin{cases}{\sqrt {(3.66-({\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}+0.1)-y)^{2}+(h_{Schritt}-z)^{2}}}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\sqrt {(3.66+({\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}+0.1)-y)^{2}+(h_{Schritt}-z)^{2}}}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

Reaktionszeit des Torwarts

• Annahme: Torwart muss auf Schuss reagieren, bevor er seine Bewegung einleitet
• Reaktionszeit wird zur vorherigen Zeit des Torwarts bis zum Treffpunkt addiert

$t_{Torwart}={\tfrac {s_{Torwart}}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion}$

• mit Einbezug der erarbeiteten Handpunkte:

$t_{Torwart}={\begin{cases}{\tfrac {\sqrt {(3.66-({\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}+0.1)-y)^{2}+(h_{Schritt}-z)^{2}}}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {(3.66+({\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}+0.1)-y)^{2}+(h_{Schritt}-z)^{2}}}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

Einbezug der Gleichung in die Ungleichung aus Zyklus 2

 $t_{Ball}$ < $t_{Torwart}$

Ungleichung aus Zyklus 2

$\;\!\iff v_{Ball}>{\begin{cases}{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{{\tfrac {\sqrt {(3.66-({\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}+0.1)-y)^{2}+(h_{Schritt}-z)^{2}}}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion}}}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{{\tfrac {\sqrt {(3.66+({\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}+0.1)-y)^{2}+(h_{Schritt}-z)^{2}}}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion}}}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

Verfeinerung der Torwartbewegung als Translation und Rotation

• in Zyklus 2 lediglich Translation der Handpunkte betrachtet
• genauere Analyse der Armbewegung
• Mischform einer Translation und eine Rotation um ein Schultergelenk
• Bewegungen werden nicht nacheinander, sondern gleichzeitig ausgeführt
• Zeit führt Gesamtbewegung ergibt sich aus dem zeitlichen Maximum der beiden Teilbewegungen

Translatorische Bewegung

• Schulterpunkte müssen betrachtet werden
• $S_{1}={\begin{pmatrix}0\\3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}\\h_{\text{Körper}}-0.3\end{pmatrix}}$
• $S_{2}={\begin{pmatrix}0\\3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}\\h_{\text{Körper}}-0.3\end{pmatrix}}$
• Ball dennoch mit den Händen halten
• Entfernung, die zurückgelegt werden muss ergibt sich aus dem Abstand der Schulterpunkte zum Treffpunkt, wobei davon die Armlänge subtrahiert wird

Darstellung Entfernung Translationsbewegung

• gewählte Körpermaße: 1.80m groß, 0.4m Hüftbreite, 0.7m Armlänge

  

  1000x600

Darstellung Entfernung Translationsbewegung

 $s_{Translation}={\begin{cases}{\sqrt {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}-a&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\sqrt {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}-a&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

Zeit für Translationsbewegung

 $t_{Translation}={\begin{cases}{\tfrac {{\sqrt {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}-a}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\tfrac {{\sqrt {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}-a}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

Rotatorische Bewegung

• Beschreibung der Rotationsbewegung des Armes um das Schultergelenk
• Berechnung des Winkels, der vom Arm überschritten wird
• ${\text{ω}}={\tfrac {\varphi }{t}}$, mit $\varphi$ als Winkel, ω als Winkelgeschwindigkeit und t als Zeit $\;\!\iff t={\tfrac {\varphi }{\text{ω}}}$

Rotation um die Schulterpunkte

• der Winkel, den der Arm überschreiten muss, wird von den Strecken $S_{1}H_{1}$ und $S_{1}T$, beziehungsweise $S_{2}H_{2}$ und $S_{2}T$ eingeschlossen

Rotation um die Schulterpunkte

$\varphi ={\begin{cases}arccos{\tfrac {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot (-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {(-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]arccos{\tfrac {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot ({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

Zeit der Roatationsbewegung

$t_{Rotation}={\begin{cases}{\tfrac {arccos{\tfrac {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot (-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {(-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]{\tfrac {arccos{\tfrac {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot ({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

Zeit, die der Torwart zum Treffpunkt benötigt

$t_{Torwart}=$

${\begin{cases}max({\tfrac {{\sqrt {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}-a}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion};{\tfrac {arccos{\tfrac {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot (-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {(-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion})&{\text{wenn }}y\leq 3.66\\[3pt]max({\tfrac {{\sqrt {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}-a}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion};{\tfrac {arccos{\tfrac {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot ({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion})&{\text{wenn }}y>3.66\end{cases}}$

Erweiterung Trefferpunkt im Kreis der Armweite ums Schultergelenk

Befindet sich der Trefferpunkt innerhalb einer der Handkreise, so müssten wir nach unserem Modell eine Translation und eine Rotation ausführen. Da der/die Torhüter/in den Ball allerdings auch ohne eine Translation mit dem ausgestreckten Arm erreichen wird, beschränken wir die Bewegung des/der Torhüter/in in diesem Fall auf eine Rotation. Die Handkreise lassen sich wie folgt darstellen:

 $K_{S_{1}}=(y-3,66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(z-h_{\text{Körper}}+0,3)^{2}\leq a$
 $K_{S_{2}}=(y-3,66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(z-h_{\text{Körper}}+0,3)^{2}\leq a$

Veränderung von t_Torwart

 $t_{Torwart}={\begin{cases}max({\tfrac {{\sqrt {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}-a}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion};{\tfrac {arccos{\tfrac {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot (-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {(-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion})&{\text{wenn }}y\leq 3.66\wedge (y-3,66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(z-h_{\text{Körper}}+0,3)^{2}>a\\[3pt]{\tfrac {arccos{\tfrac {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot (-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {(-{\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\wedge (y-3,66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(z-h_{\text{Körper}}+0,3)^{2}\leq a\\[3pt]{\tfrac {arccos{\tfrac {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot ({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}&{\text{wenn }}y>3.66\wedge (y-3,66-{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(z-h_{\text{Körper}}+0,3)^{2}\leq a\\[3pt]max({\tfrac {{\sqrt {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}-a}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion};{\tfrac {arccos{\tfrac {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)\cdot ({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{{\sqrt {(3.66+{\tfrac {b_{\text{Hüfte}}}{2}}-y)^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)^{2}}}\cdot {\sqrt {({\tfrac {3b_{\text{Hüfte}}}{2}})^{2}+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion})&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Körpermaße in Abhängigkeit zur Körpergröße

• betrachtete Parameter beeinflussen die gesuchte Schussgeschwindigkeit
• zur Erleichterung: Körpermaße in Abhängigkeit zur Körpergröße k
• ${\text{Armlänge: }}a={\tfrac {k}{2}}-0.2$
• ${\text{Hüftbreite: }}b_{\text{Hüfte}}=k-2a=0.4$
• ${\text{Schritthöhe: }}h_{Schritt}={\tfrac {k}{2}}$

Schussgeschwindigkeit für einen beliebigen Treffpunkt

 $v_{Ball}>{\begin{cases}{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{max{\Bigg (}{\tfrac {{\sqrt {(3.46-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}-{\tfrac {k}{2}}+0.2}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion};{\tfrac {arccos{\tfrac {(k-0.3-z)\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}{{\sqrt {(3.46-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}{\Bigg )}}}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\wedge (y-3,46)^{2}+(z-k+0,3)^{2}>({\tfrac {k}{2}})-0.2\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{{\tfrac {arccos{\tfrac {(k-0.3-z)\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}{{\sqrt {(3.46-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}}}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\wedge (y-3.46)^{2}+(z-k+0,3)^{2}\leq ({\tfrac {k}{2}})-0.2\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{{\tfrac {arccos{\tfrac {(k-0.3-z)^{\cdot }({\tfrac {k}{2}}-0.3)}{{\sqrt {(3.86-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}}}&{\text{wenn }}y>3.66\wedge (y-3.86)^{2}+(z-k+0,3)^{2}\leq ({\tfrac {k}{2}})-0.2\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{max{\Bigg (}{\tfrac {{\sqrt {(3.86-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}+{\tfrac {k}{2}}-0.2}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion};{\tfrac {arccos{\tfrac {(k-0.3-z)^{\cdot }({\tfrac {k}{2}}-0.3)}{{\sqrt {(3.86-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}{\Bigg )}}}&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Parameter, die die nötige Schussgeschwindigkeit beeinflussen

• Körpergröße $k$ des Torwarts
• Bewegungsgeschwindigkeit $v_{Torwart}$ des Torwarts
• Winkelgeschwindigkeit ${\text{ω}}$ der Arme des Torwarts
• Reaktionszeit $t_{Reaktion}$ des Torwarts
• Treffpunkt $T(0|y|z)$ des Balles im Tor

Darstellung der Ungleichung als Funktion

• $v$ gibt gerade die Schussgeschwindigkeit an, bei der der Torwart und der Ball gleichzeitig am Treffpunkt ankommen
• es muss also $v<v_{Ball}$ gelten

 $f:[0,7.32]\times [0,2.44]\to \mathbb {R} ,f(y,z)={\begin{cases}{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{max{\Bigg (}{\tfrac {{\sqrt {(3.46-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}-{\tfrac {k}{2}}+0.2}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion};{\tfrac {arccos{\tfrac {(k-0.3-z)\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}{{\sqrt {(3.46-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}{\Bigg )}}}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\wedge (y-3,46)^{2}+(z-k+0,3)^{2}>({\tfrac {k}{2}})-0.2\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{{\tfrac {arccos{\tfrac {(k-0.3-z)\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}{{\sqrt {(3.46-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}}}&{\text{wenn }}y\leq 3.66\wedge (y-3.46)^{2}+(z-k+0,3)^{2}\leq ({\tfrac {k}{2}})-0.2\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{{\tfrac {arccos{\tfrac {(k-0.3-z)^{\cdot }({\tfrac {k}{2}}-0.3)}{{\sqrt {(3.86-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}}}&{\text{wenn }}y>3.66\wedge (y-3,86)^{2}+(z-k+0,3)^{2}\leq ({\tfrac {k}{2}})-0.2\\[3pt]{\tfrac {\sqrt {11^{2}+(3.66-y)^{2}+z^{2}}}{max{\Bigg (}{\tfrac {{\sqrt {(3.86-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}+{\tfrac {k}{2}}-0.2}{v_{Torwart}}}+t_{Reaktion};{\tfrac {arccos{\tfrac {(k-0.3-z)^{\cdot }({\tfrac {k}{2}}-0.3)}{{\sqrt {(3.86-y)^{2}+(k-0.3-z)^{2}}}\cdot ({\tfrac {k}{2}}-0.3)}}}{\text{ω}}}+t_{Reaktion}{\Bigg )}}}&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Darstellung der Funktion mit festgelegten Parametern

• abgesehen vom Treffpunkt des Balles im Tor müssen zur Darstellung der Funktion im Koordinatensystem alle anderen Faktoren bekannt sein
• $k=1.80m$
• $v_{Torwart}=4m/s$
• ${\text{ω}}=10s^{-1}$
• $t_{Reaktion}=0.2s$

Darstellung der Funktion mit festgelegten Parametern

Erstellung einer Heatmap für die nötige Schussgeschwindigkeit

Beispiel 1: hohe Geschwindigkeiten nötig

• $k=2.20m$
• $v_{Torwart}=10m/s$
• ${\text{ω}}=20s^{-1}$
• $t_{Reaktion}=0.01s$

Beispiel 2: geringe Geschwindigkeiten nötig

• $k=1.50m$
• $v_{Torwart}=2m/s$
• ${\text{ω}}=5s^{-1}$
• $t_{Reaktion}=0.4s$

Auswertung

• Ziel des dritten Zyklus: weitere Faktoren einbauen, die im realen Vorgang von Bedeutung sind und in Zyklus 2 nicht berücksichtigt wurden
• Dabei sollten die Körpergröße und die Bewegung des Torwarts weiter analysiert werden
• Die beiden Graphen in Zyklus 3 weisen eine Ähnlichkeit auf
• Im Bereich mittleren Bereich ist die zu überschreitende Schussgeschwindigkeit höher als in den Ecken
• Außerdem ist erneut eine Symmetrie bezüglich der Mitte des Tors erkennbar

Auswirkung der Parameter auf den Graphen

• Durch die Beispiele ist auch erkennbar, wie sich die Parameter des Torwarts auf den Graphen auswirken
• In Beispiel 1 wurden die Werte so gewählt, dass sehr hohe Geschwindigkeiten benötigt werden (teilweise 100m/s)
• In Beispiel 2 wurden Werte eingesetzt, die zu geringen Geschwindigkeiten führen (in den Ecken nur 6 m/s)

Aussagen über die Auswirkung der Parameter auf den Graphen

Die zu überschreitende Geschwindigkeit wächst mit:

• Größe des Torwarts
• Bewegungsgeschwindigkeit des Torwarts
• Winkelgeschwindigkeit der Arme des Torwarts
• möglichst geringer Reaktionszeit des Torwarts

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