Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {Prägarben}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Zeige, dass durch
\mathl{U \mapsto { \mathcal F } { \left( U \right) } \times { \mathcal G } { \left( U \right) }}{} mit den natürlichen
\definitionsverweis {Produktabbildungen}{}{}
eine Prägarbe auf $X$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ eine Indexmenge und sei
\mathbed {{ \mathcal F }_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von
\definitionsverweis {Prägarben}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Zeige, dass durch
\mathl{U \mapsto \prod_{i \in I} { \mathcal F_i } { \left( U \right) }}{} mit den natürlichen
\definitionsverweis {Produktabbildungen}{}{}
eine Prägarbe auf $X$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere Beispiel 10.2 im Sinne von Beispiel 10.5.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Zeige, dass auf jedem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ die
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
$C^0(-,H)$ eine
\definitionsverweis {Unterprägarbe}{}{}
von $C^0(-,G)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Halm}{}{} des \definitionsverweis {Tangentialbündels}{}{} einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} in einem Punkt nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit \zusatzklammer {in diesem Punkt} {} {} abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {,} wobei $X$ \definitionsverweis {lokal zusammenhängend}{}{} sei. Bestimme den \definitionsverweis {Halm}{}{} zur \definitionsverweis {Garbe der stetigen Schnitte}{}{} in $Y$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {Prägarben}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ und
\mathl{{ \mathcal F } \times { \mathcal G }}{} ihre Produktprägarbe. Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Halm}{}{}
in jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \mathcal F } \times { \mathcal G } \right) }_P
}
{ =} { { \mathcal F }_P \times { \mathcal G }_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und seien
\mathl{{ \mathcal F } , { \mathcal G } , { \mathcal H }}{}
\definitionsverweis {Prägarben}{}{}
auf $X$. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die Identität
\maabbdisp {} { { \mathcal F }} { { \mathcal F }
} {}
ist ein
\definitionsverweis {Homomorphismus von Prägarben}{}{.}
}{Wenn
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
und
\maabb {\psi} { { \mathcal G }} { { \mathcal H }
} {}
Homomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung
\mathl{\psi \circ \varphi}{} ein Homomorphismus von Prägarben.
}{Zu einer
\definitionsverweis {Unterprägarbe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben.
}
}
{} {}
Zu einem injektiven
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsringen}{}{}
nennt man die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
einer
\definitionsverweis {Ortsuniformisierenden}{}{}
von $R$ in $S$ die
\definitionswort {Verzweigungsindex}{}
der Erweiterung.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\vartheta} { {\mathcal O}_{ Y, {\varphi(x)} } } { {\mathcal O}_{ X, x }
} {}
der zugehörige
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
der
\definitionsverweis {Halme}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Zahlen übereinstimmen.
\aufzaehlungdrei{Die
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
von $\varphi$ in $x$.
}{Der Exponent von $\varphi$ einer lokalen Beschreibung von $\varphi$ im Sinne von
Satz 2.1.
}{Die
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
von $\vartheta$.
}
}
{} {}
Den Tangentialraum einer komplexen Mannigfaltigkeit kann man auch mit Derivationen im lokalen Ring charakterisieren.
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und $M$ ein
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Dann heißt eine
$R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\delta} {A} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta (ab)
}
{ =} {a \delta (b) + b \delta (a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{a,b \in A}{} eine
\definitionswortpraemath {R}{ Derivation }{}
\zusatzklammer {mit Werten in $M$} {} {.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass es einen natürlichen
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraumisomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {T_PM} { \operatorname{Der}_{ {\mathbb C} } { \left( {\mathcal O}_{M,P}, {\mathbb C} \right) }
} {[\gamma]} { { \left( f \mapsto ( T_Pf ) ([\gamma]) \right) }
} {,}
gibt.
}
{} {}