Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 10

Aufgaben

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass durch ${}U\mapsto {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und sei ${}{\mathcal {F}}_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass durch ${}U\mapsto \prod _{i\in I}{{\mathcal {F}}_{i}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe

Interpretiere Beispiel 10.2 im Sinne von Beispiel 10.5.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine topologische Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass auf jedem topologischen Raum ${}X$ die Prägarbe ${}C^{0}(-,H)$ eine Unterprägarbe von ${}C^{0}(-,G)$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Halm des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in einem Punkt nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit (in diesem Punkt) abhängt.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$, wobei ${}X$ lokal zusammenhängend sei. Bestimme den Halm zur Garbe der stetigen Schnitte in ${}Y$.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf dem topologischen Raum ${}X$ und ${}{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}$ ihre Produktprägarbe. Zeige, dass für den Halm in jeden Punkt ${}P\in X$ die Beziehung

${}{\left({\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}}\right)}_{P}={\mathcal {F}}_{P}\times {\mathcal {G}}_{P}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}},{\mathcal {H}}$ Prägarben auf ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität

   ${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {F}}$

   ist ein Homomorphismus von Prägarben.

2. Wenn ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ und ${}\psi \colon {\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ Homomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ${}\psi \circ \varphi$ ein Homomorphismus von Prägarben.
3. Zu einer Unterprägarbe ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ ist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben.

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus ${}R\subseteq S$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von ${}R$ in ${}S$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und sei ${}x\in X$. Es sei

$\vartheta \colon {\mathcal {O}}_{Y,{\varphi (x)}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$

der zugehörige Ringhomomorphismus der Halme. Zeige, dass die folgenden Zahlen übereinstimmen.

1. Die Verzweigungsordnung von ${}\varphi$ in ${}x$.
2. Der Exponent von ${}\varphi$ einer lokalen Beschreibung von ${}\varphi$ im Sinne von Satz 2.1.
3. Die Verzweigungsordnung von ${}\vartheta$.

Den Tangentialraum einer komplexen Mannigfaltigkeit kann man auch mit Derivationen im lokalen Ring charakterisieren.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}M$ ein ${}A$- Modul. Dann heißt eine ${}R$- lineare Abbildung

$\delta \colon A\longrightarrow M$

mit

${}\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$

für alle ${}a,b\in A$ eine ${}R$-Derivation (mit Werten in ${}M$).

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass es einen natürlichen ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraumisomorphismus

$T_{P}M\longrightarrow \operatorname {Der} _{\mathbb {C} }{\left({\mathcal {O}}_{M,P},{\mathbb {C} }\right)},\,[\gamma ]\longmapsto {\left(f\mapsto (T_{P}f)([\gamma ])\right)},$

gibt.