Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {a\in \Z} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z \, \stackrel{ a }{ \longrightarrow} \, \Z \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z/(a) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z/(a) , \Z \right) } \longrightarrow \Z \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z , \Z \right) } \longrightarrow \Z \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z , \Z \right) } \longrightarrow E \cong \Z/(a) \longrightarrow 0} { }
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\Z^n} {\Z^m
} {}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z^n \, \stackrel{ \varphi }{ \longrightarrow} \, \Z^m \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, D \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
die zugehörige
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{.}
Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( D , \Z \right) } \longrightarrow \Z^m \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^m , \Z \right) } \longrightarrow \Z^n \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^n , \Z \right) }} { }
führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe beruht auf dem Elementarteilersatz.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\Z^n} {\Z^m
} {}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
und
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z^n \, \stackrel{ \varphi }{ \longrightarrow} \, \Z^m \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, D \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
die zugehörige
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{,}
wobei $D$ endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( D , \Z \right) } \longrightarrow \Z^n \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^n , \Z \right) } \longrightarrow \Z^n \cong \operatorname{Hom}_{ \Z } { \left( \Z^n , \Z \right) } \longrightarrow E \longrightarrow 0} { }
führt, wobei $E$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu $D$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ und sei
\maabbdisp {\alpha} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Garbenhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass $\alpha$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, wenn
\mathdisp {0 \longrightarrow { \mathcal F } \stackrel{\alpha}{ \longrightarrow } { \mathcal G }} { }
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ und sei
\maabbdisp {\alpha} { { \mathcal F } } { { \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Garbenhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass $\alpha$ genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, wenn
\mathdisp {{ \mathcal F } \stackrel{\alpha}{ \longrightarrow } { \mathcal G } \longrightarrow 0} { }
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, F \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, G \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, H \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von kommutativen
\definitionsverweis {topologischen Gruppen}{}{}
\zusatzklammer {mit stetigen Gruppenhomomorphismen} {} {.}
Es trage $F$ die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
von $G$ und die Surjektion
\maabb {p} {G} {H
} {}
habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{W
}
{ \subseteq }{H
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen
\definitionsverweis {stetigen Schnitt}{}{}
zu $p$ gibt. Zeige, dass dann für jeden
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(-,F) \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, C^0(-,G) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(-,H) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { , }
ebenfalls
\definitionsverweis {exakt}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {F} {und} {H} {}
kommutative
\definitionsverweis {topologische Gruppen}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ F \times H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ihre
\definitionsverweis {Produktgruppe}{}{}
\zusatzklammer {versehen mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}} {} {}
und es sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, F \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, G \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, H \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ eine
\definitionsverweis {kurze exakte Garbensequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(-,F) \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, C^0(-,G) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(-,H) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z 2 \pi \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \R \, \stackrel{ p }{\longrightarrow} \, S^1 \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
von
\definitionsverweis {topologischen Gruppen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p(t)
}
{ = }{ \left( \cos t , \, \sin t \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorliegt. Wende darauf
Lemma 12.2
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, F \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, G \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, H \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von kommutativen
\definitionsverweis {Gruppen}{}{,}
die wir alle mit der
\definitionsverweis {diskreten Topologie}{}{}
versehen. Zeige, dass dann für jeden
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen
\zusatzklammer {also die lokal konstanten Abbildungen} {} {}, also
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(-,F) \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, C^0(-,G) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(-,H) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { , }
ebenfalls
\definitionsverweis {exakt}{}{.}
Zeige ferner, dass in diesem Fall für jede offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(U,F) \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, C^0(U,G) \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(U,H) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { , }
exakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere
Aufgabe 12.9
für die kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Z 2 \pi { \mathrm i} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, {\mathbb C} \, \stackrel{ \exp }{\longrightarrow} \, {\mathbb C} ^{\times} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
und einen
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein einpunktiger
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
auf $X$. Bestimme den
\definitionsverweis {Ausbreitungsraum}{}{}
zu ${ \mathcal G }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Ausbreitungsraum}{}{} zur \definitionsverweis {Garbe}{}{} der \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {reellwertigen Funktionen}{}{} auf $\R$ kein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {diskrete}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{,}
es sei $X$ ein
\definitionsverweis {lokal zusammenhängender}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal G }
}
{ =} { C^0(-,D)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Garbe der stetigen Funktion auf $X$ mit Werten in $D$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ausbreitungsraum}{}{}
zu $D$ eine triviale
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
mit der Faser $D$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} und $X$ \definitionsverweis {lokal zusammenhängend}{}{.} Es sei ${ \mathcal G }$ die \definitionsverweis {Garbe der stetigen Schnitte}{}{} in $Y$ auf $X$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Ausbreitungsraum}{}{} zu ${ \mathcal G }$ mit $Y$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal G }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ausbreitungsraum}{}{}
$E$ zu ${ \mathcal F }$ in natürlicher Weise ein
\definitionsverweis {Unterraum}{}{}
des Ausbreitungsraumes $E'$ von ${ \mathcal G }$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Ausbreitungsraum}{}{} zur \definitionsverweis {Garbe}{}{} der \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{} auf einer \definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{} $X$ keine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.
}
{} {}