Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 12

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {Z}$, ${}a\neq 0$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {a}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(a)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} /(a),\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} \cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\cong \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow 0$

führt.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{m},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}$

führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.

Die nächste Aufgabe beruht auf dem Elementarteilersatz.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{m}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{n}\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} ^{m}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz, wobei ${}D$ endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(D,\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}\cong \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow E\longrightarrow 0$

führt, wobei ${}E$ isomorph zu ${}D$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ und sei

$\alpha \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

ein Garbenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\alpha$ genau dann injektiv ist, wenn

$0\longrightarrow {\mathcal {F}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}$

exakt ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ und sei

$\alpha \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

ein Garbenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\alpha$ genau dann surjektiv ist, wenn

${\mathcal {F}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}\longrightarrow 0$

exakt ist.

Aufgabe *

Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage ${}F$ die induzierte Topologie von ${}G$ und die Surjektion ${}p\colon G\rightarrow H$ habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element ${}h\in H$ eine offene Umgebung ${}h\in W\subseteq H$ und einen stetigen Schnitt zu ${}p$ gibt. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum ${}X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

ebenfalls exakt.

Aufgabe

Es seien ${}F$ und ${}H$ kommutative topologische Gruppen und es sei ${}G=F\times H$ ihre Produktgruppe (versehen mit der Produkttopologie) und es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem topologischen Raum ${}X$ eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} 2\pi \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {R} \,{\stackrel {p}{\longrightarrow }}\,S^{1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von topologischen Gruppen mit ${}p(t)=\left(\cos t,\,\sin t\right)$ vorliegt. Wende darauf Lemma 12.2 an.

Aufgabe

Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen Gruppen, die wir alle mit der diskreten Topologie versehen. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum ${}X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen (also die lokal konstanten Abbildungen), also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

ebenfalls exakt. Zeige ferner, dass in diesem Fall für jede offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ die Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

exakt ist.

Aufgabe

Interpretiere Aufgabe 12.9 für die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {\exp }{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und einen topologischen Raum ${}X$.

Aufgabe

Es sei ${}X=\{P\}$ ein einpunktiger topologischer Raum und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}X$. Bestimme den Ausbreitungsraum zu ${}{\mathcal {G}}$.

Aufgabe *

Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf ${}\mathbb {R}$ kein Hausdorffraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine diskrete kommutative Gruppe, es sei ${}X$ ein lokal zusammenhängender topologischer Raum und sei

${}{\mathcal {G}}=C^{0}(-,D)\,$

die Garbe der stetigen Funktion auf ${}X$ mit Werten in ${}D$. Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu ${}D$ eine triviale Überlagerung mit der Faser ${}D$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung und ${}X$ lokal zusammenhängend. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen Schnitte in ${}Y$ auf ${}X$. Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu ${}{\mathcal {G}}$ mit ${}Y$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ eine Untergarbe. Zeige, dass der Ausbreitungsraum ${}E$ zu ${}{\mathcal {F}}$ in natürlicher Weise ein Unterraum des Ausbreitungsraumes ${}E'$ von ${}{\mathcal {G}}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ${}X$ keine Überlagerung ist.