Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Zuordnung aus dem Beweis zu
Satz 22.4,
die einem Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Čech-Kohomologieklasse}{}{}
zu ${ \mathcal F }$ zuordnet, unabhängig von den gewählten lokalen Repräsentanten in ${ \mathcal I }$ und ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {zusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zeige, dass $H^1(X,\Z)$, wobei $\Z$ hier die \definitionsverweis {Garbe der lokal konstanten Funktionen}{}{} in $\Z$ bezeichnet, \definitionsverweis {torsionsfrei}{}{} ist.
}
{} {}
Eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
${ \mathcal G }$ auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {diskret}{,}
wenn für jeden Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge
\mathl{{ \left\{ x \in X \mid s_x \neq 0 \right\} }}{}
\definitionsverweis {diskret}{}{}
und
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $U$ ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und $G$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal G } { \left( U \right) }
}
{ \defeq} { { \left\{ s: U \rightarrow G \mid { \left\{ x \in U \mid s(x) \neq 0 \right\} } \text{ ist diskret und abgeschlossen in } U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {diskrete Garbe}{}{}
auf $X$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Garbe der Hauptteilverteilungen}{}{} eine \definitionsverweis {diskrete Garbe}{}{} ist. Kann man sie im Sinne von Aufgabe 22.3 beschreiben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Divisorengarbe}{}{} eine \definitionsverweis {diskrete Garbe}{}{} ist. Kann man sie im Sinne von Aufgabe 22.3 beschreiben?
}
{} {}
Ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
heißt
\definitionswort {normal}{,}
wenn die einzelnen Punkte
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
sind und es in ihm zu je zwei disjunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y,Z
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cap V
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
Dies ist eine weitverbreitete Eigenschaft, insbesondere sind metrische Räume und kompakte Räume normal.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ U \cup V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
eines
\definitionsverweis {normalen}{}{}
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ U \cap V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine in $U \cap V$
\definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}
Teilmenge. Wir betrachten den
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
$\overline{ D }$ von $D$ in $X$.
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \overline{ D } \setminus D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört entweder zu $U$ oder zu $V$.
}{Die Menge $\overline{ D } \setminus D$ besitzt eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ D } \setminus D
}
{ =} { F_1 \cup F_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei nun $D$ zusätzlich
\definitionsverweis {diskret}{}{.}
Dann besitzt $\overline{ D }$ eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ D }
}
{ =} { E_1 \cup E_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_1
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Im diskreten Fall besitzt $D$ eine Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D
}
{ =} { D_1 \cup D_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ D_1 }
}
{ = }{ E_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ D_2 }
}
{ = }{ E_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige anhand des
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \{a,b,c\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den
\definitionsverweis {offenen Mengen}{}{}
\mathl{\emptyset,X, \{a\}, U=\{a,b\}, V= \{a,c\}}{,} dass
Aufgabe 22.6
ohne die Normalitätsvoraussetzung nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {normaler}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ U \cup V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
und sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {diskrete Garbe}{}{}
von kommutativen Gruppen auf $X$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U \cap V, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es Schnitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U , { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ \Gamma { \left( V , { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ = }{ f{{|}}_{U\cap V}-g {{|}}_{U\cap V}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {normaler}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {diskrete Garbe}{}{}
von kommutativen Gruppen auf $X$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 1 } ( X,{ \mathcal G } )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}